建模题B.doc

B、学校食堂就餐问题 海南大学目前有6个学生食堂，每天供约25000人（学生，教职员工）就餐。学生分布在各宿舍区，集中在教1-教5上课。长期以来，供餐者和就餐者之间存在供需矛盾的问题。如，某食堂管理员反映：在饭菜准备方面，有时有巨大的浪费，米饭作了许多，有时因为没有学生来吃饭，不得不倒掉。然而，学生却说，中午第四节课下课后，因为餐厅人多，排队长，等轮到自己时，可口的饭菜已卖光；新菜还没有上来，不愿意再等，只好随便吃。教师就餐有时也会遇到一些问题，比如，期中考试期间，老师来食堂吃午饭，因为是周末，饭菜准备就有些不足，师傅们讲，没有接到通知，依然按照通常的状态准备的饭菜。 这种供求关系的不平衡，食堂管理者和广大用餐者双方都十分关注。目前还没有找到一种行之有效、快捷的就餐者量化预测方法，能够比较准确地预测不同时间段，不同的日期就餐人数，以减少材料的浪费，提高餐厅的服务质量和广大师生的满意度。请你分析并回答： （1）运用数学建模的方法评价三个食堂的服务质量，建立师生在食堂就餐服务质量的满意度模型； （2）运用数学建模的方法近似地预测师生在三个不同的餐厅就餐的分布规律，建立模型，定量地刻划就餐者在早餐，午餐和晚餐以及周一至周五，周末和节假日的就餐人数。并给出相应的误差估计等； （3）基于你的结论，向学校后勤管理部门写出一份至少2000字的报的建议 例3. 报童模型 报童每天清晨从报站批发报纸零售, 晚上将没有卖完的报纸退回. 设每份报纸的批发价为b, 零 售价为a, 退回价为c, 且设a b c0. 因此, 报童每出售一份报纸赚钱(a-b), 退回一份报纸赔(b-c), 报童每天如果批发太少, 不够卖的话就会少赚钱; 如果批发的报纸太多, 卖不完的话就会赔钱. 报童 12 应如何确定他每天批发的报纸的数量, 才能获得最大的收益? 问题分析 购进太多→卖不完退回→赔钱 购进太少→不够销售→赚钱少 应根据需求确定购进量, 是否存在一个合适的购进量？ 每天需求量是随机的, 所以每天收入是随机的. 优化问题的目标函数应是长期的日平均收入, 等于每天收入的期望. 调查需求量的随机规律——每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…. 模型建立 ? 设每天购进 n 份, 日平均收入为 G(n). ? 已知售出一份赚 a-b; 退回一份赔 b-c. r≤n→售出r, 退回n-r, 赚(a-b)r, 赔(b-c)(n-r) rn→售出n, 赚(a-b)n 0 1 ( ) [( ) ( )( )] ( ) ( ) ( ) n r rn G n a b r b c n r f r a b nf r ∞ = =+ =Σ ? ? ? ? + Σ ? 求n 使G(n)最大. 模型求解 将r 视为连续变量, f(r)=p(r)(概率密度), 0 ( ) [( ) ( )( )] ( ) ( ) ( ) n n G n a b r b c n r p r dr a b np r dr ∞ = ∫ ? ? ? ? + ∫ ? . 由上可得 0 ( ) () ( ) () ( ) () dG a b np n n b c p r dr a b np n dn = ? ? ∫ ? ? ? ( ) ( ) n a b p r dr ∞ +∫ ? 0 ( ) () ( ) () n n b c p r dr a b p r dr ∞ = ? ? ∫ + ? ∫ . 令 dG 0 dn = 得 0 ( ) ( ) n n p r dr a b p r dr b c ∞ ? = ? ∫ ∫ . 结果解释 0 1 2 ( ) , ( ) n n p r dr P p r dr P ∞ ∫ = ∫ = , 取n 使 1 2 P a b P b c ? = ? 其中a-b ~售出一份赚的钱, b-c ~退回一份赔的钱. (a ? b) ↑?n ↑, (b ? c) ↑?n ↓ 13