江苏省常州市北郊中学2008-2009高三数学第一学期期中测试.doc

江苏省州中学高三测试数学试题总分:160分 时间:120分钟 一. 填空题：（每小题5分，共70分） 1. 若复数是纯虚数，则实数 ． 2. 已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： ①； ②； ③； ④. 其中正确命题的序号是 . 3. 在处的切线方程为 ，则 . 4. 现有性状特征一样的若干个小球，每个小球上写着一个两位数，一个口袋里放有标着所有不同的两位数的小球，现任意取一个小球，取出小球上两位数的十位数字比个位数字大的概率是 . 5. 一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________. 6. 已知：圆M： ，直线的倾斜角为，与圆M交于P、Q两点，若(O为原点)，则在轴上的截距为 . 7. 在区间上任意取两点，方程的两根均为实数的概率为，则的取值范围为 . 8. 面积为S的的三边成等差数列，，设外接圆的面积为，则 9. 某算法的伪代码如右： 则输出的结果是 . 10. 若在由正整数构成的无穷数列{an}中，对任意的正整数n，都有an ≤ an+1，且对任意的正整数k，该数列中恰有2k–1个k，则a2008= . 11. 已知为奇函数, 为偶函数, ,则 . 12. 设函数，其中是非零常数.（1）若是增函数，则的取值范围是____________；（2）若的最大值为2，则的最大值等于____________. 13. 已知，是原点，点的坐标满足，则（1）的最大值为 ；（2）的取值范围为 . 14. 曲线上的点到原点的距离的最小值为 .二.解答题：（共6小题，90分） 15. 已知函数． （1）求的单调减区间； （2）若在区间上的最小值为，求的值． 16. 已知向量，函数的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点.. （1）求的表达式；（2）求. 17. （15） 如图所示的几何体由斜三棱柱和组成，其斜三棱柱和满足、、 。 （1）证明：； （2）证明：； （3）若，， . 问：侧棱和底面 所成的角是多少度时，∥. 18. （15） 已知直线l的方程为，且直线l与x轴交于点M，圆与x轴交于两点（如图）． （）过M点的直线交圆于两点，且圆孤恰为圆周的，求直线的方程； （）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程； （）过M点的圆的切线交（II）中的一个椭圆于两点，其中两点在x轴上方，求线段CD的长． 19. （16） 已知. （1）若,求的单调区间； （2）若当时,恒有,求实数的取值范围. 20. 在数列中,已知且. （1）记. 求证：数列是等差数列； （2）求的通项公式； （3）对于任意的正整数，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 参考答案 1、2 2、①④ 3、 4、0.5 5、或 6、 7、 8、 9、9 10、45 11、 12、， 13、； 14、 15、解：（1） 令，则 解得或 ∴函数的单调减区间为和. （2）列表如下： x －3 －1 3 4 － 0 + 0 － ∴在和上分别是减函数，在上是增函数. 又 是在上的最小值. 解得 16、解：（1） 由题意知,周期. 又图象过点， 即 （2）， 又 17、（1）取的中点，连接、，∵ ∴ ∴. 若、、T共线，易知 ； 若、、T不共线， ∴ （2）同（1）可证明， ∵与过公共点， 所以与重合. 即∥ ∴ （3） 18、解：（I）为圆周的 点到直线的距离为 设的方程为 的方程为 （）设椭圆方程为，半焦距为c，则 椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则或 当时，所求椭圆方程为； 当时， 所求椭圆方程为 （）设切点为N，则由题意得，椭圆方程为 在中，，则， 的方程为，代入椭圆中，整理得 设，则 19、解：（1） 当时,的单调递增区间为和,单调递减区间为 （2）(i)当时,显然成立; (ii)当时,由,可得, 令,则有.由单调递增,可知.又是单调减函数, 故,故所求的取值范围是. 2