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用频率估计概率知识精讲 【知识回顾】 概率 事件发生的可能性，也称为事件发生的概率. 利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事件发生的概率.用树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性务必相同. 频数，频率在考察中，每个对象出现的次数称为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率. 当试验次数很大时，一个事件发生的频率稳定在相应的概率附近.因此，我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率. 概率是对随机现象的一种数学描述，它可以帮助我们更好地认识随机现象，并对生活中的一些不确定情况作出自己的决策. 从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是偶然的，但多次观察某个随机现象，立即可以发现：在大量的偶然之中存在着必然的规律. 例1. 要知道一个鱼缸里有多少条鱼，只要数一数就可以了. 但要估计一个鱼塘里有多少条鱼，该怎么办呢? 先考虑一个比较简单的问题： 问题1 一个口袋中有8个黑球和若干个白球，如果不许将球倒出来数，那么你能估计出其中的白球数吗? 方法1 从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中.不断重复上述过程.我共摸了200次，57次摸到黑球，20个白球. 假设口袋中有x个白球，通过多次试验，我们可以估计出从口袋中随机摸出一球，它为黑球的概率；另一方面，这个概率又应等于8/ 8+x ，据此可估计出白球数x. 这是一种方案，你能理解并运用到实践中吗? 方法2 利用抽样调查的方法，10个球，求出其中黑球数与10的比值，.不断重复上述过程.我总共摸了20次，10的比值的平均数为0.25，24个白球. 假设口袋中有x个白球，通过多次抽样调查，求出样本中黑球与总球数比值的“平均水平”，这个“平均水平”就接近于8/ 8+x ，据此，我们可以估计出白球数x的值。 这又是一种方案，你能理解并运用到实践中吗? 相比较而言，方法2更具有现实意义.当然，当总数较小时，用方法2估计，其精确度可能较差，但对于许多实际问题（其总数往往较大），这种精确度是允许的，而且这种方法方便可行。 问题2 如果口袋中只有若干个白球，没有其它颜色的球，而且不允许将球倒出来数，那么你如何估计出其中的白球数呢? 可以向口袋中另放几个黑球，也可以从口袋中抽出几个球并把它们染成黑色或做上标记 现在，你能设计一个方案估计某鱼塘中鱼的总数了吗? 从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是偶然的，但多次观察某个随机现象，立即可以发现：在大量的偶然之中存在着必然的规律。 例2. 在有一个10万人的小镇，随机调查了2000人，其中有250人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人，他看早间新闻的概率大约是多少?该镇看中央电视台早间新闻的大约是多少人? 解：根据概率的意义，可以认为其概率大约等于250/2000＝0.125. 该镇约有100000×0.125＝12500人看中央电视台的早间新闻. 用摸拟试验的方法求无放回事件概率 例3. 一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是0－9这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开.粗心的小明忘了其中中间的两个数字，他一次就能打开该锁的概率是多少? 解：其概率为1/100. 第一次从0－9这10个数字中抽取1个数字，其概率为1/10；第二次仍从0－9中抽取第二个数字，其概率仍为1/10.故概率为1/100. 例4. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获n条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘。再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的条数可估计为an/b.你认为这种估计方法有道理吗?为什么? 解：有道理.设有x条鱼，则有n/x＝b/a，解得x＝an/b. 例5. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复. 下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 ⑴请估计：当很大时， 摸到白球的频率将会接近 ； ⑵假如你去摸一次， 你摸到白球的概率是， 摸到黑球的概率是 ； ⑶试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?答案：（1）0.6； （2）0.6； 0.4； （3）8，12. 例6. 小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC。为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为a米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下： 你能否求出封闭图形ABC的面积？