范德蒙行列式的几点重要的应用-应用数学毕业论文.doc

阜阳师范学院信息工程学院 Fuyang Shifan Xueyuan Xinxi Gongcheng Xueyuan 诚信承诺书 我谨在此承诺:本人所写的毕业论文《范德蒙行列式的几点重要的应用》均系本人独立完成，凡涉及其他作者的观点和材料均作了注释。如有不实，本人愿承担相应后果，接受学校的处理。 承诺人（签名） 年 月 日 范德蒙行列式的几点重要的应用 姓名：苏春 学号：200904010221 指导老师：王海坤 摘要 行列式是高等代数知识学习的基础，它在后续的学习中非常重要。由于它有良好的特点和独特的形式而深受数学工作者的关注。本文将立足于范德蒙行列式的性质, 探究其各种位置变化规律。 从而把一些似于它的行列式特点且根据一定的规律性和技巧性可以转化且利用它的性质特点进行优化处理，及如何构造它，把复杂的行列式进行优化，本文主要通过举例来探究它在多项式、线性变换、向量空间以及微积分等理论中的具体应用。 关键词：范德蒙行列式；行列式；微积分：向量空间；线性变换；多项式； 1. 预备知识 1.1 范德蒙行列式的定义 我们把形式如下的行列式 称为阶数为的范德蒙行列式（Vandermonde Determinant)。 下面我们来把范德蒙德行列式 对于任意的恒成立. 作具体的证明: 1.2 范德蒙行列式的证明 1.2.1 范德蒙行列的归纳法的证明 证明：用数学归纳法 当时，有故有当时成立。 假设对阶数为时成立原命题已证，现对阶数为时也证明同样成立。 首先，我们构造一个辅助的阶行列式，形式如下 ， 设.则将D(x)按第列展开，我们易得, 其中是行列式中元素 且不含的代数余子式，因此可知D定为一个次多项式.它的最高次整指数的系数是，易知=. 又因为也为的零点，易得 . 令代入上式易可得， 即 。 根据归纳假设因此.结论的证. 1.3 范德蒙行列式主要的几个的性质 我们容易得到它的几个主要的性质如下： 1.顺时针旋转它且为，易得 2.顺时针旋它且为，易得 3.顺时针旋转它且为，易得 2. 范德蒙行列式的应用 2.1 范德蒙行列式在计算行列式方面的的应用 从范它的性质出发，可以对一些为规律性较强且结构叫特殊的行列式的计算进行简化。接下来，我们将根据阶数为的范德蒙行列式已有的特点来简化问题。对于范德蒙行列式，它的每一列都是以不同整指数的某个数的形式出现，且具有较强的规律性。幂次数的变化趋势呈现由到递增或递减的这一结构特点，从而把所给行列式转化为范德蒙行列式进行简化计算。 主要方法有： 行列式各列或各行都是以不同次整指数的某个具体数字的形式出现，却有着与它有着不完全类似整指数次数的排列，可以用行列式的计算方法如因式提取，调换行或列,拆行或列等将行列式化与它的形式相同，题型相对都较为简单，在此就不一一赘述了。 2.2 范德蒙行列式在微积分中的应用 在微积分理论中，它仍然可能会出现，因而它转化的问题将是我们要面对的难题。如果我们能把所要求解的问题在正确的理论的指导下进行合理的转化，把它与微积分理论的特点结合起来，就会很容易得出我们所需要的结论，从而达到简化问题的效果。 例1：设函数在附近连续且阶可导,若 若两两互异，且为实数, 证明：存在惟一的一组实数 使得当时,是比高阶的无穷小. 证明：根据题设条件, 容易得到在处泰勒展开式，则有 ?? 得 +. 当若比高阶的无穷小, 则容易得到以为未知数的线性方程组 …… 观察易得它系数构成的行列式恰和范德蒙行列式旋转后极为相似，则为 = 可知线性方程组有惟一解, 即存在惟一一组实数使得当时， 是比高阶的无穷小. 2.3 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用 在向量空间理论中，它仍然不失为一个重点和考点。范德蒙行列式结果连乘积的形式常常被出题人联想到特征方程的特征根所看重，在向量空间理论中大显身手。如果我们能把问题在正确的理论的指导下并结合它的特点合理的转化，就会很容易使问题得到解决。 例2：设A是一个n阶矩阵，证明A的不同本征值的本征向量为线性的、无关的． 证明：设是A的各不相同的个本征值，设为适合的不为零向量，若 ， 那么有 ，． 即 ， 注意到，须有，从而，则上述问题已得证． 2.4范德蒙行列式在线性变换理论中的应用 线性变换作为高等代数的一个重点，同时也是高等代数学习的一个难点，所涉及到的问题较复杂且又比较活，有些题目也涉及到了范德蒙行列式且较为复杂，这就需要我们对范德蒙行列式有一个较高的认识。 例3：设在数域上，为维数为的的线性变换的个互不相同的本征值，从而 (1)和可交换的的线性变换都是的线性组合，这里为恒