线性方程组理论的若干应用课稿.doc

编号:090051101066 南阳师范学院2013届毕业生 毕业论文（设计） 题 目: 线性方程组理论的若干应用 完 成 人: 李 欢 班 级: 2009-01 学 制: 4 年 专 业: 数学与应用数学 指导教师: 徐少贤 完成日期: 2013-04-12 目 录 摘 要 (1) 0 引言 (1) 1 在初等数学中的应用 (2) 1.1 在初等代数中的应用 (2) 1.1.1 在证明不等式中的应用 (2) 1.1.2 在证明三角恒等式中的应用 (4) 1.1.3 在等差数列问题上的应用 (5) 1.2 在平面解析几何中的应用 (5) 2 在高等数学中的应用 (7) 2.1 在判断向量组线性相关性中的应用 (7) 2.2 在证明关于矩阵的秩的问题上的应用 (9) 3 小结 (10) 参考文献 (11) Abstract (12) 线性方程组理论的若干应用 作 者：李 欢 指导教师：徐少贤 摘 要：本文列举了线性方程组理论在初高等数学中的若干应用，在有关文献的定理和习题的基础上进行系统的研究，运用对比和构造的方法，归纳得出了几个常用的新命题，并给出了证明． 关键词：线性方程组；线性相关性；不等式; 数列；矩阵的秩 0 引言 在相当一部分诸如文献[1]的教材中，都把矩阵作为研究的重要工具．然而事实上，线性方程组理论在应用方面也有着举足轻重的地位．并且新的中学教材也已初步渗透了高等数学的一些知识理论．恰当地运用这些知识理论来解决初等数学问题，有助于问题得以迅速地转化和解决；处理高等数学的复杂问题，能使之显得既简洁又优美． 本文分初、高等数学两个大的知识板块分别介绍了线性方程组理论在初等数学中的不等式、三角恒等式、数列、几何等，以及在高等数学中的向量组线性相关性、矩阵的秩等各方面的应用． 下面先给出线性方程组的四个基本定理及其推论[1]： 定理l 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩小于它的未知量的个数． 推论1 含有个未知量个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零． 推论2 若在一个齐次线性方程中，方程的个数小于未知量的个数，那么这个方程组必有非零解． 定理2 设齐次线性方程组的系数矩阵的秩，那么它一定存在有个解向量组成的基础解系，并且齐次线性方程组的任意个线性无关的解向量都是它的一个基础解系． 定理3 线性方程组 有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等． 定理4 若线性方程组有解，且其系矩阵的秩为，那么 1) 当时，方程组有唯一解； 2) 当时，方程组有无穷多解． 推论3 如果向量组可以经线性表出，且线性无关，那么． 推论4 任意个维向量必线性相关． 1 在初等数学中的应用 1.1 在初等代数中的应用 1.1.1 在证明不等式中的应用 不等式的证明问题是贯穿初中高中乃至大学的数学课程的基本问题之一．在不同的阶段，不等式的证明问题也有难有易、灵活多变，以至于大多数中学生为之伤透脑筋．而应用线性方程组理论，能使一些常见的并且相对复杂的证明题简单化，且易于学生记忆和运用. 现举例如下． 例1 已知多项式. 求证: ,,中至少有一个不小于． 证明 先找出,,间的关系，有 此关于的齐次线性方程组 有非零解,于是由定理1的推论1得 ， 化简可得 ． 假设结论不成立，即 ,,， 易推出 ， 这与式矛盾，故假设不成立，命题得证． 例2 已知,,,．求证：. 证明 因为，所以应用换底公式得，同理将其它三个式子展开得到一线性方程组： 容易看出即是关于的齐次线性方程组 的一个非零解．故由定理1的推论1知系数矩阵 ， 化简得． 又因为 故得 ， 也即 ． 注 在应用线性方程组理论解决例2时，可以发现这样一个现象：只要给出四个不同且大于1的正实数并按一定的排列结合(比如例2选取的是2,5,11,13这四个实数，的真数分别是13,5,2,11,各不相同；是的底数，是的底数，是的底数等)得到的底数和真数，就都可以得出同样的结论．这是其它解法所发现不到的． 1.1.2 在