124导数的概念与运算.ppt

1. 对于函数y=f(x)，记Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→0时， 有极限，就说函数y=f(x)在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数(或变化率)，记作f ′(x0)或y′|x=x0，即f ′(x0)= ——————— =——————————————. 2. 如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，则对(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f ′(x0)， 这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，称这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的 ，简称导数，记作f ′(x)或y′，即f ′(x)= . 3. 曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 .相应地，切线方程为————————————————. 4. 常见函数的导数 (1)C′= (C为常数)； (2)(xn)′= (n∈Q); (3)(sinx)′= ; (4)(cosx)′= ; (5)(lnx)′= ; (6)(logax)′= (a＞0，a≠1); (7)(ex)′= ; (8)(ax)′= (a＞0，a≠1). 5. 导数的四则运算法则 (1)(u±v)′= ; (2)(uv)′= ; (3)(uv)′= (v≠0). 6.设函数u=φ(x)在点x处有导数，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数，则复合函数y=f［φ(x)］在点x处也有导数，且f x′［φ(x)］= . 1.如果质点A按规律s=2t3运动， 则在t=3 s时的瞬时速度为( ) A. 6 B. 18 C. 54 D. 81 解：因为s′=6t2，所以s′|t=3=6×32=54. 2.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：因为y′=2x-1，所以y′|x=-2=-5. 又P(-2，6+c)，所以 ,解得c=4. 3.若f ′(x0)=2,则 等于( ) A. -1 B. -2 C. 1 D. 解： 1. 求下列函数的导数： 解： 点评：掌握常见函数的导数是求函数的导数的关键，注意函数的和、差、积、商的导数在解题中的应用.涉及到复合函数的导数注意把复合函数分解为几个基本函数. 求下列函数的导数： 解： (2) 则 (3)令 则 2. 已知函数 若存在x0∈R，使得f ′(x0)=0且f(x0)=0， 求a的值. 解：因为f ′(x)=3x2+2ax，令f ′(x)=0， 则3x2+2ax =0，所以x0 =0或x0 =- . 当x0 =0时，由f(x0 )=0，可得 所以a=0. 当x0 =- 时，由f(x0 )=0， 可得 即a3-9a=0，所以a=0或a=±3. 综上分析，a=0或a=±3. 点评：求参数的值或取值范围的问题，仍是转化题中的条件，得到相应参数的方程或不等式，然后通过解方程或不等式得到所求的问题的解. 已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e(其中a、b、c、 d、e∈R)为偶函数，它的图象过点A(0，-1)， B(1，0)，且f ′(1)=-2，求函数f(x)的表达式. 解：因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)恒成立. 即a(-x)4+b(-x)3+c(-x)2+d(-x)+e=ax4+bx3+cx2+dx+ 恒成立，所以b=0，d=0，即f(x)=ax4+cx2+e. 又由图象过点A(0，-1)，可知f(0)=-1，即e=-1. 因为f ′(1)=-2且f(1)=0，所以4a+2c=-2 且a+c-1=0，解得a=-2，c=3.所以f(x)=-2x4+3x2-1.