132杨辉三角-日照实验高中2007级数学导学案.docVIP

日照实验高中2007级数学导学案 1.3.2 杨辉三角 学习目标： 掌握二项展开式中的二项式系数的三条性质及有关推导方法，并能简单应用 学习重点、难点： 理解杨辉三角的意义，掌握二项式系数的性质并会应用； 自主学习： 一、知识再现 二项式定理及二项展开式的通项公式 二、新课探究 1.新课引入 在杨辉的《详解九章算术》中载有一个“开方作法本源”图。如图所示，就是“杨辉三角”。那么这个图是如何得来的？它表达的是什么？这节课我们就来共同探讨这个问题！ 2、探索研究 上节课我们已经知道 在二项式定理中，叫做二项式系数。 它们是一组仅与二项式的次数n有关的个组合数，而与a、b无关，值得注意的是它们与展开式中的“系数”是有区别的。 1．“杨辉三角”的来历及规律 展开式中的二项式系数，当时，如下表所示： …………………………………1 1 厖厖厖厖厖厖1 2 1 1 它们与厖厖厖厖厖? 3 3 1 它们与开式中厖厖厖厖厖1 4 6 4 1 式中“系数厖厖厖厖? 5 10 10 5 1 系数是有区厖厖厖厖1 6 15 20 15 6 1 区的。 这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。 观察这个表的规律，表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n不大时，可以根据这个表来求二项式系数。 展开式的二项式系数依次是 从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数，其定义域是 2．二项式系数的性质 1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。这一性质可直接由公式得到。 2）增减性与最大值 由于 所以相对于的增减情况由决定。由 。 可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。 3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令，则。 这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于。 同时由于，上式还可以写成。 这是组合总数公式，表示在n个不同元素里，每次取1个、2个、…、n个元素的所有组合数的和。 例题讲解： 例1 证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。证明：在展开式 中，令，得。 就是 ∴ 即在的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数的和。 例2 已知的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项。 解：依题意 整理得 ∴ 设展开式中含x的项是第项，则 ∴ 解得 故展开式中含x的项为第3项，即 。 例3、已知的展开式中的系数和比的展开式中的二项式系数和大240，求的展开式中的第3项。（24） 课堂达标 1、在的展开式中，的偶次幂的所有项的系数的和为（ ）． A．－2048 B．－1023 C．1024 D．－1024 2、在恒等式中（为偶数），等于（ ）．A． B． C． D． 3、在展开式中，所有奇数项的系数之和为1024，则中间项的系数是（ ）． A．330 B．462 C．682 D．792 4、若展开式各项系数和比展开式各项系数和大56，则展开式中系数最大的项是_________． 5、化简： =_________． 归纳反思： 合作探究： 1、求的展开式中系数最大的是第几项？ 2、设：。 求：的值。 教师备课 学习笔记 教师备课 学习笔记 教师备课 学习笔记 教师备课 学习笔记