1向量及其线性运算.ppt

第三章向量组的线性相关性 * 第一节 n维向量及其线性运算 本节内容： 一、n维向量及其线性运算 二、向量组及其线性组合 定义 1 n个数 组成的有序数组 称为n维向量， 这n个数称为该向量的n个分量, 第 个数 称为该向量的第 分量. n维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵, 常用黑体小写字母 b a 、 、 、 b a 等表示列向量， 用 、 、 、 等来表示行向量. 所讨论的向量在没有特别指明的情况下都 当作列向量. 一、n维向量及其线性运算 2、向量作为特殊的矩阵，其运算与矩阵相同。 注： 1、并规定行向量和列向量总是看作不同的向量. 1.向量组与矩阵 若干个同维数的列向量 (同维数的行向量) 所组成的集合称为向量组. 如矩阵 称 为矩阵A的列向量组. 二、向量组及其线性组合 若干个同维数的列向量 (同维数的行向量) 所组成的集合称为向量组. 称 为矩阵A的行向量组. 2.向量组的线性组合 定义5 对于任何一 组合的系数. 定义6 使 给定量组 组实数 表达式 称为A的一个线性组合, 给定向量组 与向量 若存在一组数 则称向量 是向量组A的线性组合， 能由向量组A线性表示. 称为这个线性 又称向量 例如, 设 易见 的线性组合, 或称 可由 线性表示. 即 是 又如， 设 由于 因此 是 的线性组合. 例1 的线性组合. 都是n维向量组 任意n维向量 因为 例2 零向量是任何一组向量的线性组合. 因为 0 … 3.线性方程组的向量形式 设线性方程组 令 则线性方程组(1)可表为 就相当于是否存在一组数 线性方程组(1)是否有解， 使得下列线性关系式成立: 则线性方程组(1)可表为 唯一的充分必要条件是线性方程组 能由向量组 线性表示且表示不 有无穷多个解; 必要条件是线性方程组 无解. 不能由向量组 线性表示的充分 注: 的充分必要条件是线性方程组 有唯一解; 能由向量组 唯一线性表示 例3 判断向量 与 是否各为向量组 的线性组合. 若是, 写出表示式. 解 设 即 就相当于存在数 若线性方程组有解， 使得下列线性关系式成立: 设 对矩阵 施以初等行变换: 故 可由 线性表示, 由上面的初等变换取 使 类似地, 对矩阵 施以初等行变换: 故 不能由 线性表示. 定理 1 线性表示 设 则向量 能由向量组 秩相等. 与 练习 下列向量组中, 向量 能否由其余向量线性表 若能，写出线性表示式: 解 示? 对矩阵 施以初等行变换: 4.向量组间的线性表示 定义 设有两向量组 则称这两个向量组等价. 若B中的每一个向量都能由向量组A线性表示， 则称B能由A线性表示. 若A与B能互相线性表示， 内容小结 1. n维向量的概念 n维向量的概念 向量的线性运算 2. 向量、向量组、矩阵与方程组之间的联系 向量组与矩阵 线性方程组的向量形式 向量组的线性组合 向量组间的线性表示 都是此向量组的线性组合吗？ 向量组 中的任一向量 因为 思考 答案：是 例3 的线性组合. 都是n维向量组 任意n维向量 因为 例4 零向量是任何一组向量的线性组合. 因为 0 … 例6 判断向量 与 是否各为向量组 的线性组合. 若是, 写出表示式. 解 设 对矩阵 施以初等行变换: 故 可由 线性表示, 由上面的初等变换取 使