1控制系统的状态空间模型.doc

Chapter1控制系统的状态空间模型 1.1 状态空间模型 在经典控制理论中，采用阶微分方程作为对控制系统输入量和输出量之间的时域描述，或者在零初始条件下，对阶微分方程进行Laplace变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量和输出量之间的关系。传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。 现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。 1.1.1 状态空间模型的表示法 例1-1（例1.1.1） 如下面（电路）系统。试以电压为输入，以电容上的电压为输出变量，列写其状态空间表达式。 例1-1图 RLC电路图 解：由电路理论可知，他们满足如下关系 经典控制理论：消去变量，得到关于的阶微分方程： 对上述方程进行Laplace变换： 得到传递函数：，， 现代控制理论：选择流过电容的电流和电容上的电压作为2个状态变量，（2个储能元件）；1个输入为，；1个输出，。向量完全描述了电路的内部状态，电路的动态过程，由状态变量的初始值和外部输入唯一确定，输出。 由于 可列写出矩阵形式的状态方程如下。 ， 系统在任一时刻的状态可以用右图“状态空 间”中的一个点例如来描述。 状态：动态系统的状态，是指能完全描述系统时域行为的一组相互独立的变量组（给定变量组的初始值和输入函数，就能完全确定输出。 状态向量：系统有个状态变量，用这个状态变量作为分量所构成的向量（通常以列向量表示）称为系统的状态向量： 状态空间：以状态变量为坐标轴所组成的维空间，称为状态空间状态空间的每一个点均代表系统的某一特定状态。系统在时的各瞬时状态在状态空间中构成一条轨线。 出发 选择 ，这正是传递函数的特征方程！ 选取作为电路输出量，则状态空间模型的输出方程为。 由此可见，一个系统的状态变量的选取不是唯一的，相应的状态空间模型也是不同的，这使得可以通过适当选取状态变量，使系统的状态空间模型具有特殊的结构（能控标准型、能观标准型、对角型、约当型等），从而极大的方便控制系统的分析与设计。 系统分类： ①由已知输入信息获得输出信息，例如各种比例放大器； ②由已知输入信息获得输出信息，例如各种动态系统。 1.1.2 状态空间模型的一般形式 以状态空间模型描述系统行为的方法和传递函数不同，它把输入对输出的影响分成两段来描述。第一段是输入引起系统内部状态发生变化，由一阶向量微分方程（状态方程）来描述；第二段是系统内部状态变化引起系统输出的变化，用一个代数方程（输出方程，也称观测方程 状态向量： 输入向量：，输出向量： 线性时变系统，上式可写成： ， 对线性定常系统可写成： 物理意义：系数矩阵，描述状态量本身对状态量变化的影响； 输入矩阵，描述输入量对状态量变化的影响； 输出矩阵，描述状态量对输出量变化的影响； 矩阵，描述输入量对输出量变化的直接影响； 实际中，常常，故线性定常系统可用表示。 例1-2（例1.1.2）：受力、受力为输入，以质量的偏离平衡位置的位移、质量偏离平衡位置的位移为输出变量，列写其状态空间表达式。 ，，，，向量可完全描述系统的内部状态；可列写出矩阵形式的状态方程和输出方程如下。 , 该系统为输入、输出，状态系统。 例1-3（例1.1.4）：系统模型如所示。单位时间。蓄水池1，液面高度为，阀1的阻抗为；2的横截面积为，液面高度为阀2的阻抗为。，引起水箱1液位变化，流出量变化，进一步引起水箱2液位变化，流出量变化。指定2的为被控量（输出），求出该系统的数学模型。 例1-4图 液位系统 解：阀1阻抗为，同理，。 根据流体力学定律，应有：体积量=流入—流出 输出方程： 建立状态空间模型的小结： （1）选择系统中储能元件的输出量作为状态变量（有几个储能元件就有几个状态变量），然后根据系统的结构用物理定律写出状态方程； （2）选择系统输出及其各阶导数作为状态变量（有几阶导数就有几个状态变量）；（3）选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。 绘制状态空间结构图 积分器的数目等于状态变量数，画在相应的位置； 每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，并注明相应状态变量的编号； 根据状态方程和输出方程画出加法器、比例器用箭头把这些元件连接起