2007年高中总复习第二轮数学第一部分专题七73空间向量及其应用(B).docVIP

§7.3 空间向量及其应用(B) 考点核心整合 1.空间向量的几何运算 项 目 性质定理 相关概念 空间向量及其加减与数乘运算 加法交换律:a+b=b+a加法结合律:（a+b）+c=a+（b+c）数乘分配律:λ（a+b）=λa+λb 在空间中，具有大小和方向的量叫做向量.同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.空间向量的加法、减法与数乘运算是平面向量对应运算的推广 共线向量与共面向量 共线向量定理:对空间任意两个向量a、b（b≠0）,a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb共面向量定理:如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使p=xa+λb 如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一平面的向量叫做共面向量 空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc推论:设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使 =x+y+z 对空间任一点O和不共线三点A、B、C,若 =x+y+z且x+y+z=1，则P、A、B、C四点共面 两个向量的数量积 向量a、b的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉向量的数量积的性质①a·e=|a|cos〈a，e〉②a⊥ba·b=0③|a|2=a·a向量的数量积满足如下运算律:①（λ·a）·b=λ（a·b）②a·b=b·a（交换律）③a·（b+c）=a·b+a·c（分配律） 向量和轴l，e是l的单位向量，作A、B在l上的射影A′、B′，则叫做向量在轴l上的正 射影，且A′B′=||cos〈,e〉=·e 2.空间向量的坐标运算 项 目 内 容 空间直角坐标系 ①单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用{i，j，k}来表示②空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz，点O叫做原点，向量i、j、k叫做坐标向量，通过两个坐标轴的平面叫做坐标平面③坐标 在空间直角坐标系O—xyz中，对空间任一点A，对应一个向量，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使=xi+yj+zk，即实数组(x,y,z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标 向量的直角坐标运算 设a=（a1,a2,a3）,b=(b1,b2,b3)，则a+b=（a1+b1，a2+b2，a3+b3）,a-b=（a1-b1,a2-b2,a3-b3）,a·b=a1b1+a2b2+a3b3,a∥ba1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)或==(b1b2b3≠0),a⊥ba1b1+a2b2+a3b3=0 夹角和距离公式 ①夹角公式设a=（a1,a2,a3）,b=(b1,b2,b3),则cos〈a,b〉=②距离公式设A（x1,y1,z1）,B(x2,y2，z2),则dAB= 平面的法向量 平面的法向量，如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量平面的法向量主要用于求点面距离 考题名师诠释 【例1】(2005福建高考，8理)如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是（ ） A.arccos B. C.arccos D. 分析:求异面直线A1E与GF所成的角既可用向量也可构造三角形,解三角形可求角. 解法一:=-, =++, ∴·=(-)? ++) =+?+?-?-?-·=×2-1=0. ∴A1E⊥GF. 解法二:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立直角坐标系,则A1(1,0,2),E(0,0,1),F(1,1,0),G(0,2,1). ∴=(-1,0,-1),=(-1,1,1),·=1-1=0.∴A1E⊥FG. 解法三:连结B1G、B1F、FG、FC,在△B1GF中,易求得B1G=,B1F=,FG=. 故B1G2+FG2=B1F2.∴B1G⊥GF,即A1E⊥FG. 答案:D 【例2】(2005山东高考，20)如图,已知长方体ABCD—A1B1C1D1,AB=2,AA1=1,直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°,AE垂直BD于点E,F为A1B1的中点. (1)求异面直线AE与BF所成的角; (2)求平面