3.5劳斯判据.ppt

引言 对系统进行各类性能指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。 稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。只有稳定系统才有用。 绝对稳定性：稳定或不稳定的条件。 相对稳定性：稳定系统的稳定程度。 零状态响应的稳定性 如果系统对于每一个有界输入的零状态响应仍保持有界，则称该系统的零状态响应是稳定的。 零状态响应稳定又称为有界输入有界输出稳定（BIBO稳定，外部稳定）。 BIBO稳定可以由系统响应的收敛性直观表示。 线性定常系统零输入响应稳定性和零状态响应稳定性的条件除特殊情况外是一致的。 所以，线性定常系统的稳定性可以通过系统响应的稳定性来表达。 4. 零状态响应稳定性与零输入响应稳定性之间的关系 线性系统零输入响应稳定，则其零状态响应一定稳定；反之不然。 通常称零输入响应稳定为内稳定，零状态响应稳定为BIBO稳定。 3.5.4 劳斯判据的应用 例题 例题 例3-6 已知系统的特征方程为 ，试用劳斯判据判别其稳定性。 解：列出劳斯表 由于表中的第1列出现了负数，可以判定特征根有在右半平面的。因此，该系统是不稳定的。又由表中第1列系数符号改变两次，即可判定有两个特征根在右半平面。事实上方程的根是 ， ，确有2个根在右半平面。 (2) 劳斯表的两种特殊情况及其处理 在劳斯表的某一行中，出现第一个元为零，而其余各元均不为零，或部分不为零的情况； 在劳斯表的某一行中，出现所有元均为零的情况。 这两种情况表明：系统在复平面内存在正根或存在两个大小相等符号相反的实根或存在两个共轭虚根（即存在关于原点对称的根），系统处在不稳定状态或临界稳定状态。 第一种情况，可用一个很小的正数ε代替为零的元素，然后继续进行计算，完成劳斯表。例如，系统的特征方程为 其劳斯表如左: 因为劳斯表第一列元素 的符号改变了两次，所 以系统不稳定，且有两 个正实部的特征根。 例3-7 闭环系统特征方程为 试判断系统的稳定性。 解：列劳斯表如下： 当令 时， 。可以看出第1列系数符号改变2次，说明闭环特征根有两个正实部根。系统不稳定。可解得闭环特征根为 第二种情况，先用全零行的上一行元素构成一个 辅助方程，它的次数总是偶数，它表示特征根中出现 关于原点对称的的根的数目（这些根或为共轭虚根； 或为符号相异但绝对值相同的成对实根；或为实部符 号相异而虚部数值相同的成对的共轭复根；或上述情 况同时存在）。再将上述辅助方程对 s 求导，用求 导后的方程系数代替全零行的元素，继续完成劳斯表. 例如，系统的特征方程为 劳斯表为 由上看出，劳斯表第一列元素符号均大于零，故系统 不含具有正实部的根，而含一对纯虚根，可由辅助方 程 解出 。 例3-8 闭环特征方程为 试用劳斯判据判断系统的稳定性。 解：列劳斯表如下： 由劳斯表可看出，第一列符号没有改变，说明系统没有右半平面的根，但出现了特殊情况（2），一定存在对称于原点的根，所以存在共轭虚根，系统临界稳定。对称于原点的根由辅助方程解出。辅助方程为 解得： ，另一根由特征方程解得 。 * 3.5 线性系统的稳定性及代数稳定判据 引言 稳定的基本概念 零输入响应的稳定性——内部稳定性 零状态响应的稳定性——外部稳定性 线性定常系统的稳定性 线性定常系统稳定的充要条件 线性定常系统的稳定性判据 一、稳定的基本概念 1. 稳定和不稳定的含义 稳定和不稳定：一个原处于某一平衡状态的系统，受到某一扰动作用偏离了原平衡状态。当扰动消失后，如系统还能回到原平衡状态附近，则称该系统稳定。反之，系统不稳定。 这种稳定性也称零输入响应的稳定性（内稳定）； 稳定性是表征系统在扰动消失后自我恢复的能力，它是系统的一种固有特性。 ， 稳定的摆 不稳定的摆 稳定 中性稳定 不稳定 1940年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。 跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。 2. 稳定的类型 大范围稳定：初始偏差可以很大，系统仍稳定； 小范围稳定，初始偏差必须在一定限度内系统才稳定，超出了这个限定