创意平板折叠桌资料.doc

创意平板折叠桌 摘 要 本文运用三维空间几何分析、非线性约束优化、遗传算法等方法给出了创意平面桌的设计原理，在此基础上给出合理的设计加工参数，并描述折叠桌的动态变化过程，根据已有的数据信息设计了合理的解决方案，得到了折叠桌动态过程的描述方程，确定最优计加工参数。 针对问题一，用CAD画图软件和word画图画出俯视图和侧视图。首先建立了三维空间坐标系将桌面看作不动的，得到了木条的运动轨迹方程。先分析长方形平板的尺寸参数，建立三维空间坐标系，得出桌腿木条旋转角度的参数表达式，从已知信息中挖掘出参数的变化范围，推断出任意木条的运动轨迹方程。运用MATLAB的polyfit命令，进行最小二乘曲线拟合，得到的曲线作为桌角边缘线的描述，并对上述部分模型的正确性及可操作性进行了验证。 ，并计算得到各木条槽长。 针对问题三，在问题一与问题二的解决期间，总结了折叠桌设计过程中的部分注意事项，并给出了软件设计的程序流程。在此基础上，设计出了一款折叠桌，提出了最优化设计方案，给出了具体设计参数。 关键词：折叠桌 三维空间几何 最小二乘法曲线拟合 遗传算法 非线性约束优化 1 问题重述 某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。 试建立数学模型讨论下列问题： 1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的描述。 3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。 2 问题分析 2.1问题1 坐标系建立后，可以将平板分为两部分，桌面部分和木条部分。在整个折叠过程中，如果将桌面部分固定住，则运动的只有木条部分。对折叠桌的动态描述就只剩下对木条在折叠过程的描述。由于铰链的固定，每根木条均作绕铰链的圆弧运动，这样木条上任一点的运动轨迹便可以知道，那么在桌子最终折叠状态钢筋与木条交点位置可以获得，而交点初始位置是很容易知道的，有了这两点的位置信息，木槽最短的长度便可得到；同时端点位置信息也知道，利用Matlab曲线拟合命令可以很得到桌角边缘线的近似描述方程。 2.2问题2 分析已给条件可以看出，这是优化问题。首先可以通过上述的三个变量得出其稳定性，用料及加工成本，并用这三个变量无量纲化后进行线性加权作为目标函数。由于存在尺寸等约束条件,对于这样一个优化问题运用遗传算法来进行求解,最后求解得到在桌高70cm和桌面直径80cm的长方形平板材料尺寸和最优设计加工参数。 2.3问题3 参考已知条件可以知道，问题三除了给定桌子的高度和桌面的面积外，还给定了桌面的形状，因此这时的桌面不再一定是圆形；同理，给定了桌脚边缘线的大致形状，那么说明折叠桌在摊平时不再一定是一个标准的矩形。认识到这两点，问题三的求解也不再是难事了。 3 模型假设 钢筋直径趋向于无穷小，可以看做一条几何线段，位于木条宽度方向的正中央。 在安装铰链后，木板总长度的变化忽略不计，另外也不计算加工切削过程中对木板长度的影响。 在考察桌腿的长度与桌子高度，桌腿与桌面角度关系时，模板厚度忽略不计，而计算高度为额定高度减去厚度的值； 假设组成桌面的木条的外侧顶点都在一外接圆上，且以此圆直径为桌面直径，可以得到以下模型；（如图2所示） 图2 桌面圆示意图 4 符号说明 R：展开后圆桌面直径； b：平板长度减两侧木条长度； D：空间坐标中木条上任一点的初始位置； ：点D旋转一定位置时的点； ：木条展开后与y轴正反向的夹角； ：的最大值； ：最外则木条所成的角度； ：第n条木条所成的角度； a：木槽的初始位置； ：木槽初始坐标位置； ：木条上钢筋的坐标位置； L：木板（木条）长； W：木板宽； T：木板（木条）厚； D：桌面名义直径； w：木条宽； N：总木条数； n：计算部分木条编号； H：名义高度； h：计算高度（h=H-T）。 5 问题一 5.1 折叠桌动态变化过程 对问题1，