01.第一讲.巧切西瓜(答案).doc

第一讲 巧切西瓜 1． 现在有半个西瓜，平放在桌子上，由你来切。条件是只允许竖直切，不允许横着切，也不允许斜着切。问问你：切两刀最多能把这半个西瓜切成几块？切三刀呢？ 图-1-1竖着切，可以！ 图-1-2 横着切，犯规！ 图-1-3 斜着切，也犯规！ 让我们拿出一张纸，既然只能竖着切，那么用一个圆就可以表示半个西瓜，用直线就能表示每一刀怎么切，这样想就简单多啦，而不用拿着真的西瓜乱切了! 首先第一刀怎么切呢？画一下，发现原来第一刀怎么切都一样，只能将西瓜切成两块，如右图9-0-4。 图-1-4 一刀只能切成两块 那么第二刀怎么切呢，想出两种切法。第一种切法如图9-0-5，如果第二刀和第一刀不相交，只能把西瓜切成了三块；第二种切法如图9-0-6，第二刀和第一刀相交，那么把西瓜切成了四块。经过试验小明知道了，竖着切两刀至多可 图-1-5 两刀可以切成3块 以把西瓜切成四块！ 两刀的切法解决了，再解决三刀的切法就 告成啦！ 其实三刀的切法在前两刀切法的基础上再 切一刀就行了。继续试验，发现第三刀 图-1-6 两刀最多切成4块 有三种不同切法，第一种切法如图9-0-7，第三刀与前两刀都不相交，结果切成了5块；第二种切法如图9-0-8，第三刀只与前两刀中某一刀相交，结果切成了6块；第三种切法如图9-0-9，第三刀与前两刀每一刀都相交，结果切成7块。 图-1-7 切成5块 图-1-8 切成6块 图-1-9 切成7块 原来，竖着切三刀最多可以将西瓜切成7块！注意：如果想使切成的块数最多，切每一刀的时候就要使它和前面的每一刀都相交！半个西瓜，竖着切5刀，最多能切多少块？竖直切9刀呢？从前面的切法中可以知道，要想使切出的块数最多，就必须使每一刀都与以前每一刀尽量相交。 我们在前面切三刀的解法的基础上再切第四刀，并让第四刀与前三刀都相交，发现最多可以切11块，如图9-1-1；然后再切第5刀，并且与前四刀也都相交，如图9-1-2，可以看出，竖直切5刀，最多可以切成16块。 图-2-1 4刀最多切成11块 图-2-2 5刀最多切成16块 5刀的问题我们解决了，但是如果继续切到9刀，画图的难度似乎越来越大了。别着急，我们先回过头来观察一下已经得到的结论，看看有没有什么规律呢？ 我们把竖直切的刀数和最多能切出的块数排列如下； 刀数 最多切的块数 0 1=1 1 1+1=2 2 1+1+2=4 3 1+1+2+3=7 4 1+1+2+3+4=11 5 1+1+2+3+4+5=16 … … n 1+（1+2+3+…+n）= ？ 经过仔细观察分析，我们发现有这样的规律： 最多可以切出的块数 = 1+1+2+3+…+n 在这里还有一个规律：1+2+3+…+n = (1+n)×n÷2，你发现了没有？ 所以：最多可以切出的块数 = 1+1+2+3+…+n = (1+n)×n÷2 + 1 有了这个规律，我们就不用去切9刀或者画9刀了，我们可以直接算出来，竖着切9刀最多可切出的块数为： 1+（1+9）×9÷2 = 1 + 45 = 46（块） 注意：我们这个规律只适合竖着切的情况，其他情况（横着切或斜着切）就不成立了！一块月饼，要切成11块，竖着切最少要切几刀？解答： 切一块月饼和切半个西瓜其实是一样的，大家发现了吗，这两种情况下，我们在纸上画的都是用直线分割圆。我们可以根据前面总结出的规律，列出那个表来，找到切11块需要切几刀： 1刀： 1+1=2（块） 2刀： 1+1+2=4（块） 3刀： 1+1+2+3=7（块） 4刀： 1+1+2+3+4=11（块） …… 于是可以知道，把一个月饼竖着切成11块，至少需要4刀。4． 一块月饼，要切成20块，竖直切最少要切多少刀？ 解答： 我们接着考察前面表中的列出的数据： 1刀： 1+1=2（块） …… 5刀： 1+1+2+3+4+5=16（块） 6刀： 1+1+2+3+4+5+6=22（块） …… 我们发现5刀至多能切出16块，而6刀则最多可以切出22块，所以我们可以知道，要切20块的话，5刀肯定不行，6刀则可以完成任务。因此，至少需要竖直地切6刀。 注意：表中只列出了最多的可能，例如6刀最多可以切出22块，那么6刀当然可能切出20块，想一想怎样切？再想一想，6刀最少可以将西瓜切成几块？ 你能把一块豆腐切3刀，切成8小块吗？怎样切？ 解答： 同学们要认真读题哦，题目并没有要求我们像以前那样竖直切下去，这次是可以斜着或者横着切的。而且如果竖直切的话，3刀至