1.2 n 阶排列.ppt

1.2 n阶排列 学习目标： 1. 会计算一个排列的逆序数。 2. 对换的性质。 * * 一、有关概念 第二节 全排列及其逆序数 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解 1 2 3 1 2 3 百位 3种放法 十位 1 2 3 1 个位 1 2 3 2种放法 1种放法 种放法. 共有 1. 概念的引入 * 2. 全排列及其逆序数 问题 定义 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）. 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示. 由引例 同理 * 排列的逆序数 在一个排列 中，若数 例如 排列32514 中， 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 则称这两个数组成一个逆序. * 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 逆序数为零的排列称为标准排列. 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5. 逆序数为1 逆序数为3 3. 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. * 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数，即算出排列中每个元素的逆序数，每个 元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 二、计算排列逆序数的方法 分别计算出排在 前面比它大的数 的个数，即分别算出 这 个元 素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所 排列的逆序数. 方法 1 方法 2 * 3 2 5 1 4 于是排列32514的逆序数为 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; * 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 此排列为偶排列. * 解 当 时为偶排列； 当 时为奇排列. 根据方法2 * 解 当 为偶数时，排列为偶排列， 当 为奇数时，排列为奇排列. * 三、对换 定义：把一个排列中的某两个数互换位 置，而其他的数保持不动，就得到另一个 排列，这样的一种变换称为对换。 * 定理1：对换改变排列的奇偶性。 定理2：在全部 个 阶排列中，奇、偶排 列的 个数相等，各有 / 2个。 定理3：任意一个 阶排列都可以经过一些对换变成自然序排列，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。 * 推论：任意两个 阶排列都可以经过一些对换互变，而且如果这两个排列奇偶性相同，则所作对换的次数是偶数；如果这两个排列奇偶性相反，则所作对换的次数是奇数。 * 四、小结 3. 计算排列的逆序数的方法有两种 1. 个不同元素的所有排列种数 2. 排列具有奇偶性 4. 对换的性质 * 作业： P12 : 1. 3.