2006年高考第一轮复习数学95两个平面垂直.doc

9.5 两个平面垂直 ●知识梳理 1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直. 2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直. ●点击双基 1.在三棱锥A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有 A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABC C.平面ADC⊥平面BCD D.平面ABC⊥平面BCD 解析：由AD⊥BC，BD⊥ADAD⊥平面BCD，面AD平面ADC， ∴平面ADC⊥平面BCD. 答案：C 2.直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是 A.a B. a C. a D. a 解析：取A1C的中点O，连结AO. ∵AC=AA1，∴AO⊥A1C. 又该三棱柱是直三棱柱， ∴平面A1C⊥平面ABC. 又∵BC⊥AC，∴BC⊥AO. 因此AO⊥平面A1BC，即A1O等于A到平面ABC的距离.解得A1O=a. 答案：C 3.设两个平面α、β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 解析： 答案：C 4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1—BD—A的正切值为_____________. 答案： 5.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为_____________. 解析：如下图，平面α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，AB=2a. AC⊥l于点C，BD⊥l于点D， 则CD即为所求. ∵α⊥β，AC⊥l，∴AC⊥β，∠ABC就是AB与平面β所成的角. 故∠ABC=30°，故AC=a. 同理，在Rt△ADB中求得AD=a. 在Rt△ACD，CD==a. 答案：a ●典例剖析 【例1】 如下图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC. 剖析：本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线.根据已知条件的特点，取BC的中点O，连结AO、SO，既可证明AO⊥平面BSC，又可证明SO⊥平面ABC.另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到∠AOS是二面角A—BC—S的平面角，转化为证明∠AOS是直角. 证法一：取BC的中点O，连结AO、SO. ∵AS=BS=CS，SO⊥BC， 又∵∠ASB=∠ASC=60°，∴AB=AC， 从而AO⊥BC. 设AS=a，又∠BSC=90°，则SO=a. 又AO=== a， ∴AS2=AO2+SO2，故AO⊥OS. 从而AO⊥平面BSC，又AO平面ABC， ∴平面ABC⊥平面BSC. 证法二：同证法一证得AO⊥BC，SO⊥BC， ∴∠AOS就是二面角A—BC—S的平面角.再同证法一证得AO⊥OS，即∠AOS=90°. ∴平面ABC⊥平面BSC. 特别提示 本题揭示的是证面面垂直常用的两种方法.此外，本题中证明∠AOS=90°的方法较为特殊，即通过“算”，定量地证得直角，而不是通过位置关系定性地推理出直角，这也是立体 何中证明垂直的一种重要方法. 【例2】 如下图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC. （1）求证：AB⊥BC； （2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小. （1）证明：作AH⊥SB于H， ∵平面SAB⊥平面SBC， ∴AH⊥平面SBC. 又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC. SA在平面SBC上的射影为SH， ∴BC⊥SB.又SA∩SB=S， ∴BC⊥平面SAB. ∴BC⊥AB. （2）解：∵SA⊥平面ABC， ∴平面SAB⊥平面ABC.又平面SAB⊥平面SBC， ∴∠SBA为二面角S—BC—A的平面角. ∴∠SBA=45°.设SA=AB=BC=a. 作AE⊥SC于E，连结EH，则EH⊥SC，∠AEH为二面角A—SC—B的平面角， AH=a，AC=a，SC=a，AE=a， ∴sin∠AEH=，二面角A—SC—B为60°. 思考讨论 证明两个平面垂直的常见方法： （1）根据定义，证其二面