研究生传热学课第4章详解.ppt

第4章 Transient numerical method Numerical method Basic steps for Numerical method in heat conduction 离散方法 2、finite difference method： 有限差分法比较成熟，应用广泛。 下面主要介绍有限差分法的基本原理。 区域离散化（for 2-D steady-state） 时间的离散化（for 1-D transent） k表示时间节点 4.1 建立离散方程 一阶导数的有限差分 4.3 非稳态导热问题的数值解法 * Numerical method or analytical method? t t0 tw ? x ?1 ?2 ?3 x1 x2 x3 精确度高 分析法 解析解 连续性 微分方程 分析法： （1）分析传热现象，确定传热方式，建立简化的物理模型。 （2）建立数学模型，包括导热微分方程和单值性条件； （3）利用数学物理方法求温度与空间和时间的函数关系式 求解困难 近似解 数值法 数值解 离散性 代数方程 求解容易 求各种数学问题近似解的方法和理论 数值 分析 ? ? ? ? 数学模型 实际问题 计算 机 近似解 数值计算法是求解稳态和非稳态导热问题的十分有效的方法。 数值传热学发展较快。 分析问题 数学描述： 导热微分方程式 与单值性条件 方程离散化 连续性变为离散点 微分变为代数? ?? ? 联立代数方程求解 借助计算机编程 求出离散点温度 求热流场 讨论分析结果 有限差分法（FDM） 有限容积法（FVM） 有限元法（FEM） 边界元法（BEM） 谱分析方法（SM） 数值积分变换法（ITM） 格子- Boltzmann方法（LBM） 控制容积有限元法(CVFEM) 。 1、微分方程、边界条件及初始条件的离散方法主要有： 网格线的交点为节点 i,j表示x，y方向节点的序列号； Δx, Δy表示相邻节点之间的距离；即步长； 阴影面积为节点所代表的微元体， 网格线 节点 时间的离散为：在时间上划分为若干个时间间隔 Δ? 用有限差分近似微分， 用有限差商近似微商（导数） eg:?x?dx， 导热偏微分方程转化为节点温度差分代数方程。 1. 求解域的离散化 1)子区域的划分 选择网格宽度?x、?y（步长），划分子区域。 2)节点的选择 网线交点为节点，用i,j表示。 常物性、无内热源的二维稳态导热： 两种方法：泰勒级数展开法与控制容积热平衡法。 1) 泰勒级数展开法 对节点（i+1, j）和（i-1, j）分别写出温度在(i, j)节点的泰勒级数展开式： 将上两式相加，得 截断误差 中心差分格式 2. 节点温度差分方程的建立 同样可得y方向得二阶偏导数 对于无内热源的二维稳态导热，导热微分方程为 将以上两式代入，并忽略截断误差，得 取?x = ?y，得 上述两式相减得： 根据节点所代表的元体在导热过程中的能量守恒来建立节点温度差分方程。 (1) 内部节点温度差分方程 无内热源的二维稳态导热: 内部节点( i, j )所代表的元体在导热过程中的热平衡 对于垂直于画面方向单位宽度， 选择?x=?y 2)元体热平衡法 上式可整理为 可见，物体内每一个节点温度都等于相邻4个节点温度的算术平均值。 (2) 边界节点温度差分方程 对于具有第三类边界条件的边界节点 ( i,j )所代表的元体，根据其热平衡， 选择步长?x=?y ，将上式简化 令 称为网格毕渥数。 上式可整理为 第三类边界条件下的外拐角边界节点： 第三类边界条件下的内拐角边界节点： 绝热边界节点： 运用有限差分方法可以建立导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程。求解这些差分方程构成一个线性代数方程组就可以得节点温度的数值。 4.2 节点温度差分方程组的求解方法 线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、迭代法等，这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用的迭代法中的两种： 1. 简单迭代法 2. 高斯-塞德尔迭代法 其中aij、bi为常数，且aij?0。改写为显函数形式： 假设 1. 简单迭代法 2. 高斯-塞德尔迭代法 高斯-塞德尔迭代法是在简单迭代法的基础上加以改进的迭代运算方法。它与简单迭代法的主要区别是在迭代运算过程中总使用必威体育精装版算出的数据。 高斯-塞德尔迭代法比简单迭代法收敛速度快 。 非稳态导热数值解法的特点： （1）非稳态导热微分方程多了非稳态项，因此单值性条件中增加了初始条件； （2）除了对空间域进行离散外，还需要对时间进行域离散；