高中数学竞赛讲座 34一次方程及一次不等式.doc

竞赛讲座34 －一次方程与一次不等式1.一次方程（组） 一次方程（组）是最简单的方程，是进一步研究函数、方程、不等式等的基础，先看一个含字母系数的一元一次方程的讨论. 例1（第36届美国中学数学竞赛题）设a，a＇b，b＇是实数，且a和a＇不为零，当且仅当（? ）时，ax+b=0的解小于a＇x+b＇=0的解． （A）a＇b＜ab＇?????????? （B）ab＇＜a＇b?????? （C）ab＜a＇b＇ （D）????????????????? （E） 解?? ∵a≠0,∴ax+b=0的解是， ∵a＇≠0,∴a＇x+b＇=0的解是， 根据题意得. 故应选（E）. 例2??? （第4届美国数学邀请赛试题）若x1,x2,x3,x4和x5满足下列方程组： ① ②③④⑤ ? ????????? 确定3x4+2x5的值. 解?? 将已知的五个方程加起来，然后，把所得方程的两边除以6得 x1+x2+x3+x4+x5=31,???????? (*) 由第4、第5个方程分别减去方程（*），得 x4=17,??????? x5=65, ∴??? 3x4+2x5=181 说明，上面解答所提供的用31代换x1+x2+x3+x4+x5的整体代换方法是一种重要的解题策略. 例3（1982年天津初中数学竞赛题）已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5－2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？ 分析?? 依题意，即要证明存在一组与a无关的x，y的值，使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立，令a取两个特殊值（如a=1或a=-2），可得两个方程，解由这两个方程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证， 我们也可以这样想：将原方程整理成为形如 a(x+y-2)+(-x+2y+5)=0 将原方程转化为关于字母a的一元一次方程，由题知该方程对a取任意值成立必须且只须 x+y-2=0,同时-x+2y+5=0. 联立以上两方程易得原方程的解. 以上所提出的两种解法将在本书的其它部分有更详细的讲述. 2.一次不等式 解一元一次不等式主要依据下列不等式的性质：（1）不等式的两边加上（或减去）同一个实数，所得不等式与原不等式同向； （2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，所得不等式与原不等式同向； （3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，所得不等式与原不等式反向. 例4（上海1989年初二竞赛题）如果关于x的不等式(2a-b)x+a-5b＞0的解为，那么关于x的不等式ax＞b的解是多少？ 分析由(2a-b)x+a-5b＞0可得（2a-b）x＞5b-a,注意到题目已给出的解得知仅当2a-b＜0时，有 ．故，对不等式ax＞b,当a＞0时，x＞,a＜0,x＞ 例5（1973年加拿大中学生竞赛题）求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解. 分析?? 解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x+3=0,x-1=0，分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段：x＜-3或-3≤x＜1或x≥1，然后在每一段上去绝对值符号解方程，例如，当x＜-3时，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x=-5满足x＜-3，故是原方程的一个解，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=-3，x=1叫做零点. 例6（1978年上海竞赛题）解绝对值不等式|x-5|-|2x+3|＜1. 解? 令x-5=0,或2x=3=0,得x=5,或x=,它们将实数分成三部分，如图4-1(此处无图). 原不等式的解由下面三个不等式组的解的全体组成：（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 由（Ⅰ）得x＜-7;由（Ⅱ）得＜x＜5；由（Ⅲ）得x ≥5,所以原不等式的解为x＜-7或x＞. 例7（1978年广东数学竞赛试题）不等式|x|+|y|＜100的整数解有多少组（x≠y）？ 解? |x|+|y|＜100，∴0≤|x|≤99，0≤|y|≤99，故x、y分别可取-99到99之间的199个整数，且x≠y，现将所有可能的情况列有如下：（此处无表） 故满足不等式|x|+|y|＜100且x≠y的整数解组数为： 198+2（1+3+…+99）+2（100+102+…+196）=198+ =198+100×50+296×49=19702（组）. 若有依次排列着的一列数，每后一个数与它前面一个数的差总等于一个常数，我们称这一列数形成一个等差数列，依据这一概念我们来解答下面这个题目. 例8（1988年日本大学入学试题）设有满足1＜a＜b＜c的四个数1，a，b，c，其中两两之和组成的六个数各不相同，而把它们从小到大排起来