第8章 控制系统状态空间的的分析及综合.ppt

第8章 控制系统的状态空间分析 与综合 8.1 控制系统的状态空间描述 8.1.1 状态空间的基本概念 (1)状态和状态变量 表征系统运动的信息称为状态，足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量。 (2)状态向量 把描述系统状态的n个状态变量x1(t)，x2(t)…，xn(t)看作向量x(t) 的分量，则向量x(t) 称为n维状态向量，记作： (3)状态空间 以n个状态变量作为坐标轴所构成n维空间称为状态空间。 (4)状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。 用图8.1所示的R-L-C网络说明如何用状态变量描述这一系统。 图8.1 R-L-C电路 (5)输出方程 系统输出量与状态变量﹑输入量的关系称为输出方程。 式（8.3）就是图8.1系统的输出方程，它的矩阵表示式为： (6)状态空间表达式 状态方程和输出方程的组合称为状态空间表达式。 设单输入-单输出线性定常连续系统，其状态变量为x1(t),x2(t)…,xn(t)，则状态方程的一般形式为： 用向量矩阵表示时的状态空间表达式则为： 因而多输入——多输出系统状态空间表达式的矢量形式为： 8.1.2 线性定常连续系统状态空间表达式的建立 (1)由系统结构图出发建立状态空间表达式 (2)由系统微分方程或传递函数出发建立状态空间表达式 1）传递函数中没有零点时的实现 由图8.3，容易列出系统的状态空间表达式为： 图8.3 系统模拟结构图 写成矩阵形式，则为： 简写为： 顺便指出，当A阵具有式（8.10）的形式时，称为友矩阵，友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为1，最后一行的元素可取任意值，而其余元素均为零。 2）传递函数中有零点时的实现 相应的传递函数为： 为了说明方便，又不失一般性，这里先从三阶微分方程出发，找出其实现规律，然后推广到n阶系统。 设待实现的系统传递函数为： 图8.4 系统模拟结构图 从图8.5可以看出，输入函数的各阶导数 作适当的等效移动，就可以用图8.6(a) 表示，只要β0,β1,β2,β3系数选择适当，从系统的输入输出看，二者是完全等效的。将综合点等效地移到前面，得到等效模拟结构图如图8.6(b)所示。 图8.5 系统模拟结构图 图8.6 系统模拟结构图 8.1.3 从状态空间表达式求传递函数 阵 设系统状态空间表达式为： 则系统传递函数矩阵表达式为： 8.1.4 状态空间表达式的线性变换及 规范化 (1)线性变换 设给定系统为 线性变换是线性代数学内容，下面仅概括指出本书中常用的几种变换关系。 1)化A为对角形 ①若A阵为任意形式且有n个互异实数特征值λ1,λ2,…,λn，即|λI - A|=0的根，则可由A的特征根直接写出对角阵Λ ②若A阵为友矩阵形式且有n个互异实数特征值λ1,λ2,…,λn，则T阵是一个范德蒙德(Vandermonde)矩阵，为： ③若A阵有q个实特征值λ1，其余(n-q)个为互异实数特征值，但在求解Api= λi pi (i =1，2，…，q)时，仍有q个独立实特征向量p1，…， pq，则仍可使A化为对角阵Λ 。 2）化A为约当形 ①若A阵为任意形式且有q个实特征值λ1，其余（n – q）个为互异实数特征值，但在求解Api =λi pi (i=1，2，…，q)时，只有一个独立实特征向量p1，则只能使A化为约当阵J (2)系统的并联型实现 已知系统的传递函数 1)具有互异根情况 式中λ1，λ2，…，λn——系统的特征根。 图8.7 并联型模拟结构图 2)具有重根的情况 具有图8.8所示的结构，除重根是取积分器串联的形式外，其余均为积分器并联。 图8.8 并联型模拟结构图 8.1.5 离散时间系统的状态空间表 达式 相应的系统脉冲传递函数为： 8.2 线性定常系统状态方程的解 8.2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解） 所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。状态方程为齐次状态方程： 众所周知，纯量微分方程 称为指数函数，而向量微分方程的解在形式上与其是相似的，故把 称为矩阵指数函数。 8.2.2 状态转移矩阵 (1)状态转移矩阵的性质 性质1 或 性质2 性质3 或 性质4 对于状态转移矩阵，有： 或 性质5 8.2.3 线性定常系统非齐次方程的解 现在