线性方程组及矩阵秩若干问题.ppt

线性方程组与矩阵秩的若干问题 福建师范大学数计学院代数教研室 肖民卿 2008年10月 引言 矩阵秩的概念是由J.Sylvester于1861年引进的，它是矩阵的最重要数字特征之一。 这里，我们结合“矩阵与线性方程组”的教学讨论以下内容： 矩阵秩描述的线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用； 矩阵秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等号成立的充分必要条件。 一.线性方程组解的判定定理在解析几何中的一个应用 m个方程n个未知元的线性方程组一般表示为： 线性方程组有解的判定定理 利用上述定理，可以简洁刻画一般方程表示的几何空间中直线及平面的位置关系。 这样， 与 的位置关系取决于线性方程组 则有如下结论： （i） 与 相交 2. 直线与平面的位置关系 则有如下结论： （i） 与 相交 3. 三个平面的位置关系 则有如下结论： （i）三个平面有一个公共点 二. 矩阵秩不等式中的一些问题 关于矩阵的秩,有两个重要的不等式. 问题： 在这两个不等式中等号成立的条件是什么？ 许多教材以习题方式给出等式①成立的充分必要条件： 对于等式③和等式④，文献[3]、文献[4]均做了研究，给出等式成立的充分必要条件. 文献[5]利用矩阵的广义逆，分别给出等式①~等式④成立的充分必要条件. 参考文献 [1] 陈志杰. 高等代数与解析几何[M]. 北京: 高等教育出版社, 2000. [2] 丘维声. 高等代数(第二版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 2002. [3] 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记[J]. 武汉科技大学学报, 2004, 27(3): 322-323. [4] 吕登峰, 刘 琼等. 矩阵秩的Sylvester与Frobenius等式问题[J]. 孝感学院学报, 2006, 26(6): 62-65. [5] 王松桂, 吴密霞等. 矩阵不等式(第二版) [M]. 北京: 科学出版社, 2006. 谢 谢 ！ * * 线性方程组(1)的矩阵表示为： 其中， 线性方程组(1)有解的充分必要条件是 这里， 表示矩阵 的秩。特别地， 若 ，则线性方程组(1)有唯一解； 若 ，则线性方程组(1)有无穷多解。 1. 直线与直线的位置关系 设几何空间中两条直线的方程分别为 解的情况。记 （ii） 与 重合 （iii） 与 平行 （iv） 与 异面 设几何空间中直线和平面的方程分别为 记 （ii） 在 上 （iii） 与 平行 设几何空间中三个平面的方程分别为 记 （ii）三个平面有一条公共直线 （iii）三个平面平行 （iv）三个平面构成三棱柱 Sylvester不等式： 设 、 、 分别是 、 、 矩阵. Frobenius不等式： 即以下等式成立的条件分别是什么？ 当且仅当齐次线性方程组 与齐 次线性方程组 同解. 利用这一结果，可以得到等式②成立的充分必要条件： 当且仅当齐次线性方程组 与 齐次线性方程组 同解. 文献[3]的结论： 的充分必要条件是存在矩阵 和 ，使得 . 的充分必要条件是存 在矩阵 和 ，使得 . 其中， 是 的任意取定的一个满秩分解. 文献[4]的结论： 的充分必要条件是,对于齐次 线性方程组 的任一解 ,都存在 使得 .或 的充分必要条件是,对 于齐次方程组 的任一形如 的解,都存在 ,使 得 . 者说, 的零空间包含于 的象空间,即 . 引理1 对于任意适维矩阵 、 、 ，有 这里列出其主要结果： 引理2 对于任意 、 ，有 引理3 设 有n列， 有n行，则对任意 、 ， 有 定理1 在S