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图 论（Elementary Graph Algorithms） 图的定义 图是由顶点集合以及顶点间的关系的集合组成的一种关系的数学表示 G = （V，E） 其中顶点是由有穷非空集合 顶点之间的关系（边）是有穷集合 Path (x , y)表示从x到y的一条单向通路，它是有方向的 图的分类 有向图：图中的边是有方向的。E (x ,y) 和E ( y ,x)表示的边不同 无向图：图中的边是没有方向的。 完全图：n个顶点的图两两连边，即有 n(n-1)/2条边，则此图为n的完全图。 用K n表示 图的一些概念 邻接顶点：如果(u ,v) ∈E(G),则称u与v互为邻接顶点 子图：设有两个图G(V,E)和G’(V’,E’)，若V’ ?V 且E’ ?E’，则称图G‘是图G的子图 权：某些图的边上标有相关的数字，称为该边的权值 顶点的度 一个顶点V的度是与它相连边的条数，记为Deg(V). 顶点的入度 一个顶点V的入度是以它为终点有向边的条数，记为InDeg(V) 顶点的出度 一个顶点V的入度是以它为起点有向边的条数，记为OutDeg(V) 路径 在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些边经过一些顶点 Vp1, Vp2, …, Vpm，到达顶点Vj。则称顶点序列 (Vi Vp1 Vp2 ... Vpm Vj) 为从顶点Vi 到顶点 Vj 的路径。它经过的边(Vi, Vp1)、(Vp1, Vp2)、...、(Vpm, Vj) 应是属于E的边。 图的存储表示邻接矩阵(Adjacency Matrix) 设图G=(V,E)是一个有N个顶点的图，图的邻接矩阵是一个二维数组G.edge[N][N] 定义： 图的存储表示邻接表(Adjacency List) 图论相关算法 广度优先有哪些信誉好的足球投注网站 通常用队列(先进先出,FIFO)实现 Q={起点s}; 标记s为己访问; while (Q非空) { 取Q队首元素u; u出队; 所有与u相邻且未被访问的点进入队列; 标记u为已访问; } 广度优先有哪些信誉好的足球投注网站 由BFS得到的路径是原图中从S到T的边数最少的路径 广度优先有哪些信誉好的足球投注网站树不唯一 广度优先有哪些信誉好的足球投注网站的例子 深度优先有哪些信誉好的足球投注网站 相关概念 递归实现 结点颜色： 白色（开始），灰色（发现），黑色（结束） 一个结点总是从白色变为灰色，再变为黑色 当所有点都变为黑色时，遍历结束 时间戳(timestamp): d[u]表示一个结点开始被访问的时间，f[u]表示一个结点结束访问的时间 深度优先有哪些信誉好的足球投注网站 int timestamp = 0; dfs(int p) { timestamp = timestamp + 1; col[p] = GREY; d[p] = timestamp; for (每个与p相邻的点i) if (col[i] == WHITE) dfs(i); timestamp = timestamp + 1; f[p] = timestamp; col[p] = BLACK; } 深度优先有哪些信誉好的足球投注网站 每个顶点的d[u] f[u] DFS中，v是u的子孙? d[u]d[v]f[v]f[u]?在有哪些信誉好的足球投注网站中发现u时可以从u出发沿一条完全由白色顶点组成的路径到达v m条边的连通图，DFS中顺序标号每条边为1~m，则任意与顶点u关联的所有边（边数=2）的标号的GCD为1 深度优先有哪些信誉好的足球投注网站 割点与割边 如果从图中删去某点和与该点相关联的边后，图不再连通，那么这个点叫做割点(cut point)。 如果从图中删去某条边后，图不再连通，那么这条边叫做割边或桥(bridge)。 拓扑排序 图的结点存在一个拓扑序：如果图中有边(u，v)，则u必定排在v的前面 拓扑排序在有向无环图(DAG)上进行 拓扑序列不一定唯一 拓扑排序 利用DFS，当节点u已经扩展完成，将标记颜色置为黑时，将u加入已排序列的顶部，有哪些信誉好的足球投注网站完成时，节点序列为拓扑序 经过拓扑排序的顶点以与其完成时刻相反的顺序出现 拓扑排序 算法 (1) 计算每个点的入度，入度为0的点加入队列Q (2) 从Q中取出一个点p，输出 (3) 所有与p相邻的点的入度减1。如果新得到了入度为0的点，则加入队列Q。 (4) 转步骤(2), 直到所有点都输出完毕 如果在执行过程中发现找不到入度为0的点, 说明图中存在环 拓扑排序 1 3 2 4 5 6 7 8 (不唯一) 如何生成最小字典序的拓扑序列？ 可以使用最小堆维护当前入度为0的节点 最小生成树 生成树：由G的n-1条边构成的无环的子图，这些边的集合成为生成树。 最小生成树：所有生成树中权