自动控制原理第7章.ppt.ppt

对于图7-15所示的有干扰的采样系统, 干扰N(s)到输出C(s)的通道上没有采样开关, 所以, 不能写出输出C(s)对干扰N(s)的闭环传递函数, 而只能写出对于干扰N(s)的输出C(s) 。此时, R(s)=0。 图 7-15 有干扰信号的采样系统 7.5 数字控制系统的性能与控制 7.5.1 数字控制系统的稳定性 如前所述, Z变换称为采样拉氏变换, 它是从拉氏变换直接引申出来的一种变换方法, 因此, 为了把连续系统在s平面上分析稳态性能的结果移植到z平面上分析离散系统的稳态性能,首先需要研究这两个复平面的关系。  复变量z和s的关系为z=eTs, 其中s=σ+jω, T为采样周期。则 所以|z|=eσT, ∠z=ωT。 设s平面上的点沿虚轴移动, 即s=jω, 对应z平面上的点z=ejωT, 其轨迹是一个单位圆。当s平面上的点从-jω移到jω时, z平面上相应的点已经沿着单位圆转过了无穷多圈。当s位于s平面虚轴的左半部(σ＜0)时, |z|＜1, 对应z平面上的单位圆内;当s位于s平面虚轴的右半部(σ＞0)时, |z|＞1, 对应z平面上的单位圆外部区域。 见图7-16。 图 7-16 s平面上虚轴在z平面上的映像 因此, 对于图7-13所示的采样控制系统, 其特征方程式为 1+GH(z)=0 系统的特征根为z1,z2, …, zn即为闭环传递函数的极点。根据以上分析可知, 闭环采样系统稳定的充分必要条件是: 系统特征方程的所有根均分布在z平面的单位圆内, 或者所有根的模均小于1, 即|zi|＜1(i=1, 2, …, n)。 与分析连续系统的稳定性一样, 用直接求解特征方程式根的方法判断系统的稳定性往往比较困难, 这时可利用劳斯判据来判断其稳定性。 但对于线性采样系统, 不能直接应用劳斯判据, 因为劳斯判据只能判断系统特征方程式的根是否在s平面虚轴的左半部, 而采样系统中希望判别的是特征方程式的根是否在z平面单位圆的内部。因此, 必须采用一种线性变换方法,使z平面上的单位圆映射为新坐标系的虚轴。这种坐标变换称为双线性变换, 又称为W变换。注意, 因z=eTs是超越方程, 故不能将特征方程式变换为代数方程。令 (7.34) 则 (7.35) 式(7.34)和式(7.35)表明, 复变量z与w互为线性变换。 令复变量 z=x+jy w=u+jv 代入式(7.35)得 对于w平面上的虚轴, 实部u=0, 即 x2+y2-1=0 这就是z平面上以坐标原点为圆心的单位圆的方程。单位圆内x2+y2＜1, 对应于w平面上u为负数的虚轴左半部; 单位圆外x2+y2＞1, 对应于w平面上u为正数的虚轴右半部。 例 7-10 判断图7-17所示系统在采样周期 图 7-17 采样系统 解 开环脉冲传递函数为 闭环传递函数为 闭环系统的特征方程为 即 z2+(T-2)z+1-Te-T=0 当T=1 s时, 系统的特征方程为 z2-z+0.632=0 因为方程是二阶, 故直接解得极点为z1,2=0.5±j0.618。由于极点都在单位圆内, 所以系统稳定。  当T=4s时, 系统的特征方程为 z2+2z+0.927=0 解得极点为z1=-0.73, z2=-1.27。有一个极点在单位圆外, 所以系统不稳定。  从这个例子可以看出, 一个原来稳定的系统, 如果加长采样周期, 超过一定程度后, 系统就会不稳定。通常, T越大, 系统的稳定性就越差。 上面两式相减, 可得 对上式两边取z→1的极限, 得 当n=N时为有限项, 上式左边可写为 令N→∞, 则有 式(7.20)得证。 6. 卷积定理 设 (7.21) 则卷积定理可以表示为 (7.22) 证明 根据Z变换定义 (7.23) 将式(7.21)代入式(7.23), 可得 由于k＜n时, g［(k-n)T］=0, 上式可改写为 令k-n=j, 则k=0时, j=-n, 上式化为 7.3.3 Z变换方法 1. 级数求和法 根据式(7.13)和式(7.14), 只要知道连续函数f(t)在各个采样时刻的数值, 即可按照式(7.14)求得其Z变换。这种级数展开式是开放式的, 有无穷多项。但有一些常用的Z变换的级数展开式可以用闭合型函数表示。  例 7-1 求单位阶跃函数1(t)的Z变换。  解 单位阶跃函数的采样函数为 1(nT)=1 (n=0, 1, 2, …) 将f(nT)=1(nT)=1代入式(7