其它展开.ppt

* 其它展开 一、周期为 2L 的周期函数展开成 Fourier 级数 前面我们所讨论的都是以 展开成Fourier 级数，但在科技应用中所遇到的 周期函数大都是以 T 为周期，因此我们需要讨论 如何把周期为T = 2 l 的函数展开为Fourier 级数 若f ( t )是以T = 2 l 为周期的函数，在[ -l , l ) 上满足Dirichlet 条件 代入傅氏级数中 定理 在连续点处 级数收敛于f ( x ) 本身 在间断点处 级数收敛于 则有 则有 证明 解 二、非周期函数的展开 前面我们研究了周期为T = 2 l 的函数展开成 Fourier 级数，其中所涉及到的函数都是定义在 无限区间上，但在实际应用中却需要对非周期函数，或定义在有限区间上的函数展开成Fourier 级数，下面我们就来讨论这种情况，分两种情形讨论 1。 周期延拓的情形 设函数 f ( t ) 在[ -l , l )上满足Dirichlet 条件 为了将其展开为Fourier 级数，需要将 f ( t ) 在 [ -l , l ) 以外进行周期性延拓，也就是作一个周期 为 l 的函数 F (t ) 使得F (t ) 在[ -l , l ) 上与 f ( t )恒等，将F (t ) 展开成Fourier 级数 而在 [ -l , l ) 的连续点处， 有 若 t 0 是 [ -l , l ) 内的间断点，则在该点处，级数收敛于 需要注意的是区间的两个端点， 虽然对 f ( t ) 来说，在左端点右连续，右端点左连续，但延拓成 F (t ) 以后，在 就不一定连续，由收敛定理 ， 级数收敛于 因此若 f ( t ) 在 [ -l , l ) 上 左端点的右极限等于 右端点的左极限，即 展开式在 此时Fourier 级数的收敛域包括区间的端点，否则 Fourier 级数的收敛域不包括区间的端点 应该指出，这里所要展开的是 f ( t ) 要得到的是 第二个级数，在实际计算中并不需要得到第一个级数，虽然两个展开式形式上完全相同，但它们的收敛域不同， F (t ) 是延拓到整个数轴上的情形，而 f ( t ) 的展开式只局限于[ -l , l ] ，因此在讨论 f ( t ) 的展开式的收敛域时，不要扩展到 f ( t ) 的定义域之外 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 拓广的周期函数的傅氏级数展开式在 收敛于 . 所求函数的傅氏展开式为 利用傅氏展开式求级数的和 解 另解 2。正弦级数和余弦级数 定义 非周期函数的周期性开拓 如果函数 f ( t ) 只是定义在 [ 0 , l ] 上，且 在 [ 0 , l ] 上满足Dirichlet 条件，需要展开成 Fourier 级数，就要先在 [ -l , 0 ）上 补充 定义，或者说构造一个新函数 F ( t ) 使得在区间 [ 0 , l ] 上有F ( t ) = f ( t ) 然后按照周期延拓的方法将F ( t ) 展开成 Fourier 级数 ，当限制自变量在 [ 0 , l ] 上时，就得到 f ( t ) 的Fourier 展开式 从理论上讲，构造函数 F ( t ) 时，所补充的在 [ -l , 0 ）上有定义的函数可以任意给出，只要它满足Dirichlet 条件，但往往由于所给函数的不同会使得计算变得烦琐，因此在实际应用中常采用 偶延拓和奇延拓的方法 *