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小结 1、散度（流出的量） 通量源 通量即该向量 垂直平面分量 穿过平面的大小 散度不为0的点表示该点有源 source 存在 散度是标量，物理意义为通量源密度，可以从高斯公式理解 散度处处为零，说明是无源场； 散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源） 2、旋度（没有流出的量） 旋涡源 旋度数值即该向量 平行平面分量 在某点的最大环量密度 即环量 大小/面积 。 旋度是矢量；物理意义为环量密度，可以从斯托克斯公式理解 旋度处处为零，说明是无旋场； 旋度不为零时，则说明是有旋场 矢量场 1.6 矢量场的亥姆霍兹 Helmholtz 定理 现在我们必需考虑如下问题： （1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？ （2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？ （3）如何唯一的确定一个矢量场？ 前面我们介绍了矢量分析中的一些基本概念和运算方法。其中标量场的梯度和矢量场的散度、旋度都是场性质的重要量度。一个标量场的性质完全可以由它的梯度来表明，那么一个矢量场所具有的性质是否可完全由它的散度和旋度来表明呢？ 1、亥姆霍兹定理 在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即： 其中， 为无散场， 为无旋场。 Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个 部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡源激发，并且满足： 另一部分是无旋场，由通量源激发，满足： 2、矢量场的分类 根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类： ?调和场 注意：不存在在整个空间内散度和旋度均处处为零的矢量场。 若矢量场 在某区域V内，处处有： 和 则在该区域V内，场 为调和场。 有源无旋场 讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理 若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或 整个空间内，有 ，则称在该区域V 内，场 为有源无 旋场。 结论：有源无旋场矢量沿任何闭合路径积分结果等于零。有源无旋场 也称保守场。 无源有旋场 说明：式中 为矢量场漩涡源密度。 有源有旋场 若矢量场 在某区域V内有 ，在某些位置或整个空 间内，有 ，则称在该区域V内，场 为有源有旋场。 有源有旋场可分解一个有源无旋场和无源有旋场的叠加，即： 若矢量场 在某区域V内，处处 ，但在某些位置或整个 空间内，有 ，则称在该区域V内，场 为无源有旋场。 3、亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义 已知 矢量 的通量源密度 矢量 的旋涡源密度 场域边界条件 在电磁场中 电荷密度? 电流密度 场域边界条件 （矢量 唯一地确定） 研究电磁场的一条主线 4、两个重要的场论公式 任何标量场梯度的旋度恒为零（标量场的梯度必无旋）。 任何矢量场的旋度的散度恒为零（矢量场的旋度必无散）。 逆定理：如果一个矢量旋度为0，则该矢量可表示为一个标量场的梯度。 逆定理：如果一个矢量散度为0，则该矢量可表示为另一个矢量的旋度。 5. 拉普拉斯运算 直角、柱、球坐标系下拉普拉斯算符 6. 常用的矢量恒等式 第一章作业 1、在 的矢量场中，取一个以 每边为单位长的立方体，其中一个顶点在坐标原点 上，如图所1示。试求从六面体内穿出的净通量，并 验证高斯定理。 2、已知 ，计算如图2所示第一象限 半径为3的1/4圆盘的线积分，并验证斯托克斯定理。 3、求函数 在点M（1,0,1）处沿 方向的方向导数。 4、已知 ； 若 无旋，确定C1,C2,C3； 将Ci代入，判断 能否表示成一个矢量的旋度以及 属于何种场。 5 已知 证明： 6 给定两矢量 7 球坐标中两个点 2. 圆柱坐标系 在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。 线元： 面元： 体元： 3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。 线元： 面元： 体元： 坐标变换 圆柱坐标系与直角坐标系间单位 矢量变换关系 球面坐标系与直角坐标系间单位 矢量变换关系 a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1， 即： b. 在柱坐标系中，坐标变量为 , 其中 为角度，其对应的线元 ，可见拉梅系数为： 在球坐标系中，坐标变量为 ，其中 均为 角度，其拉梅系数为： 注意： 一、场的概念及分类 物理量（如温度、电场、磁场）在空间中以某种形式分布，若每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场等。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。 1.2 场 a. 场的概念 b. 场的分类 1、按物理量的性质 标量场（