微积分A4(第十章第6、7、8、9节).ppt

二、函数展开成幂级数 例：将下列函数展开成 x 的幂级数。 教材第299页 三个步骤 解： 于是得级数 它的收敛半径为 解： 由此可求得： 2 . 间接法 用直接法计算量很大，还要考虑余项 ， 由于幂级数的展开式是唯一 的，所以现在利用一些已知函数的展开式 及幂级数的运算性质间接得到其它一些函 数的展开式。这就是间接法。 我们已掌握了以下函数的幂级数展开式： 同理， 逐项积分： 例1： 展开式。 解： 幂级数 例2： 解： 例3： 解： 例4： 解： 即展开成 x – 1 的幂级数。 同时成立， 例5： 解： 即展开成 x – 2 的幂级数。 例6： 解： 例7： 利用函数幂级数展开式的唯一性， 解： 由幂级数唯一性， 例8： 解： 例9： 解： 3 课 外 作 业 习题 10 — 9 2(2, 4) 可见，关键在于求导或积分后所得的幂级数能写出和函数。 解： 易证： 解： 逐项求导，得 解： 课 外 作 业 习题 10 — 8(A) 1(2, 4), 2(1,4) 习题 10 — 8(B) 1 第九节 泰勒级数 泰勒 (1685 – 1731) 英国数学家, 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一, 重要著作有: 《正和反的增量法》(1715) 《线性透视论》(1719) 补充. 泰 勒 公 式 泰勒公式的研究开始于在1715 年出版的《正和反的增量法》一书. 泰勒断言, 函数在一个点的某个邻域中的值可以用函数在 该点的值以及函数在该点的各阶导数的值组成 的无穷级数表示出来, 用现在的记号就是: 泰勒公式的研究开始于在1715年出版 的《正和反的增量法》一书. 泰勒断言, 函数在一个点的某个邻域中的值可以用函数在 该点的值以及函数在该点的各阶导数的值组成 的无穷级数表示出来, 用现在的记号就是: 拉格朗日利用他发明的微分中值定理建立 了泰勒公式的拉格朗日余项. 不论在近似计算或理论分析中，我们总希 望能用一个简单的函数近似地表达一个比较复 杂的函数。而在函数中又以多项式较为简单， 若能用多项式来近似表达一个函数会给研究带 来很大的方便。那么又怎样从函数本身找到我 们所需要的多项式呢？ 补充. 泰 勒 公 式 在微分应用中知， 此式左端是一函数，而右端是 x 的一次多项式。 即用一次多项式来近似代替函数。 但这种表达式的精度不高，它所产生的误 差仅是关于 x-x0 的高阶无穷小，且无法具体估 计出误差的大小。 为此，我们用满足一定要求的高次多项式 来近似表达函数，并给出误差的计算公式。 来近似表达 f (x). 首先，可定出系数： Taylor 中值定理： 为此，我们有 展开到 拉格朗日型余项。 说明 余项 Rn(x) 又可写成： 这种形式的余项 Rn(x) 称为皮亚诺型余项。 称为麦克劳林公式。 麦克劳林 (1698 – 1746) 英国数学家, 著作有: 《流数论》(1742) 《有机几何学》(1720) 《代数论》(1742) 在第一本著作中给出了后人以他的名字 命名的麦克劳林级数。 我们已求得了一些函数的麦克劳林公式, 还可以类似得到以下函数的麦克劳林公式： Taylor中值定理： 一、泰勒(Taylor)级数 展开到 称为拉格朗日型余项。 定义：若 在 处有任意阶导数，则称： 问题： 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ? 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 3) 把 f (x) 展开成幂级数是否就是上述形式？ 或者说把 f (x) 展开成幂级数形式是否唯一？ 定理1： 证明： 定理2：(唯一性定理) 若 f (x) 可以在 x0 的某邻域内展开为幂级数， 则这样的幂级数只能是泰勒级数。 证： 幂级数是函数项级数中最常见最简单的一种， 定理1 （阿贝尔定理） 其收敛域如何? 在收敛域内, 和函数如何求? 证明： 反证： 若有一点 x1 , 适合 并使 (*) 收敛, 则由 (1) 知, 矛盾！ 证毕 即幂级数的收敛点与发散点不可能互相混杂。 (1) 说明： 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 收敛半径, 记为 R . (2) 在收敛与发散点之间的分界点: 上, 幂级数可能收敛也可能发散， 发 散 发 散 收 敛 推论： 也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定 的正数 R 存在，使得： 则 R = 0 , 收敛区间, 收敛域