(下)第6章5.pptVIP

认真做作业 作业：P222： 23（4、6、8） 24（4、5） * §6.5 反常积分 一. 无穷积分 二. 瑕积分 三. Г函数 前面讨论的定积分不仅要求积分区间[a , b]有限, 而且还要 求被积函数? x 在[a , b]上有界. 然而实际还常常遇到无限区间 或无界函数的积分问题. 这两类积分统称为广义积分. 其中前 者称为无穷积分, 后者称为瑕积分. 对于广义积分的计算是以极限为工具来解决的, 即先将广 义积分转化为定积分, 再对该定积分求极限. 一.无穷限积分 无穷限的反常积分. 定义1 设? x 在[a, +∞ 上连续, 且当 b a 时, 若极限 此时记号 不再表示 数值了, 无穷积分没有意义. [a, +∞ （- ∞, b] - ∞, +∞ 积分区间为无穷区间 而 则只有无穷积分 同时收敛时, 才有 收敛. 例1 计算广义积分 解 当 p 1时, 当 p ≠ 1时, 当 p 1时, 重要结论: 收敛; 发散. 当 p ≤ 1时, 若? x 在[a, b]上有无界点 即无穷间断点 , 则称积分 二.瑕积分 为瑕积分, 并称 ? x 的无界点为瑕点. 定义2 ? x 在 a, b]上连续, 且 若对于任给的 注1 若瑕点为a 的积分 收敛, 则 注2 类似地可定义瑕点在积分区间的右端点b和内点 的敛散性, 即 c a c b 时, 瑕积分 1 若瑕点为b, 则定义 2 若瑕点为c a c b , 则定义 例3 计算瑕积分 解 因为 故瑕积分 发散, 从而 发散. 解 因为 当 p ≠ 1时, 解 因为x a为瑕点, 所有当 p 1时, 重要结论: 当 p≥1时, 发散. 当 p 1时, 收敛; 下面介绍在数学、物理等许多领域中都有广泛应用的特殊 积分—Γ函数. 三.Г函数 定义3 参变量 s 的函数 注1 当s 0时, 定义4中的广义积分收敛. 也是一个 瑕点为x 0 瑕积分. 称为Γ 函数. 注2 不仅是无穷积分, 而且当 s 1时 注3 在定义3中, 若令 则有 Γ 函数的另一形式: 1 递推公式: Γ s + 1 sΓ s s 0 . 注4 Γ 函数的基本性质: 特别地 解 Γ s 在任意一点s 0处的函数值都可通过递推公式逐步减小 s, 直到0 s 1, 而Γ s 在 0, 1 内的函数值可查表得到. 反复用递推公式, 则有Γ n + 1 n! 例6 计算下列积分： 此积分是概率论中常用的积分.