第二章 随机过程基本概念new.ppt

例2： X在[0, 5T/6]上均匀分布: 3.3 随机过程的概率分布 （用随机变量和随机向量的数字特征定义） 1、数学期望（均值函数） 随机过程{X(t), t ?T}的数学期望定义为 若{X(t), t ?T}的状态空间是连续的，一维概率密度为f(x, t),则 若{X(t), t ?T}的状态空间是离散的，则 均值函数表示X(t)的所有样本函数在时刻t的平均值。 3.4 随机过程的数字特征 2、方差函数 随机过程{X(t), t ?T}的方差函数定义为 若{X(t), t ?T}的状态空间是连续的，一维概率密度为f(x, t),则 若{X(t), t ?T}的状态空间是离散的，则 随机过程{X(t), t ?T}的均方差函数（标准差函数）定义为 3.4 随机过程的数字特征 2、方差函数 方差函数描述了随机过程{X(t), t ?T}的诸样本函数在各个时刻对其均值的偏离程度。 m(t) m(t) m(t) 方差小 方差大 方差越来越小 均值相同方差不同 3.4 随机过程的数字特征 3、相关函数和协方差函数 随机过程的均值函数和方差函数仅描述了各个孤立时刻状态的数字特征，不能反映两个不同时刻状态之间的联系。 随时间变化缓慢，相关性强 均值、方差相同，各时刻相关程度不同 随时间变化剧烈，相关性弱 3.4 随机过程的数字特征 3、相关函数和协方差函数 定义随机过程{X(t), t ?T}的自相关函数为 定义随机过程{X(t), t ?T}的自协方差函数为 （二阶混合原点矩） （二阶混合中心矩） 3.4 随机过程的数字特征 3、相关函数和协方差函数 相关函数反映了任意两个时刻状态之间的相关程度；协方差函数反映了任意两个时刻状态相对于均值的起伏之间的相关程度。两者之间的关系： 当 当t1=t2=t时， 协方差函数与相关函数一致 相关函数与均方值一致 协方差函数与方差一致 3.4 随机过程的数字特征 4、相关系数 协方差函数反映了同一随机过程任意两个时刻状态相对于均值的起伏值之间的相关程度，与此两个起伏值的强度有关，不能确切表示相关程度的大小。为此，应消除起伏值的强度的影响，对协方差函数作归一化处理。定义 为随机过程{X(t), t ?T}的相关系数（标准协方差函数）。 3.4 随机过程的数字特征 5、二阶矩过程和相关理论 随机过程最重要的数字特征是均值函数和相关函数，其它的数字特征都可由这二者算出。 均值函数称为过程的一阶矩，方差函数、相关函数、协方差函数称为过程的二阶矩。 如果随机过程{X(t), t ?T}的一、二阶矩存在，则称该随机过程为二阶矩过程。 从二阶矩过程的均值函数和相关函数出发讨论随机过程的性质，而允许不涉及它的有限维分布，这种理论称为随机过程的相关理论。 3.4 随机过程的数字特征 6、互相关函数和互协方差函数 定义随机过程{X(t), t ?T}和{Y (t), t ?T}的互相关函数为 定义随机过程{X(t), t ?T}和{Y (t), t ?T}的互协方差函数为 （二阶混合原点矩） （二阶混合中心矩） 3.4 随机过程的数字特征 6、互相关函数和互协方差函数 两者之间的关系： 则称随机过程X(t) 和Y (t) 互为正交过程。 相互独立的两个随机过程必是互不相关的； 而互不相关的两个随机过程不一定是相互独立的。 若 若 则称随机过程X(t) 和Y (t) 互为不相关。 3.4 随机过程的数字特征 随机过程的概率密度与特征函数是一傅氏变换对。 1、一维特征函数 随机过程{X(t), t ?T}的在一特定时刻t1的取值X(t1)是一维随机变量，若其一维概率密度为fX(x1, t1),则定义 为随机过程{X(t), t ?T}的一维特征函数。 n阶原点矩函数 3.5 随机过程的特征函数 2、二维特征函数 随机过程{X(t), t ?T}的在任意二个时刻t1 、 t2的取值构成二维随机变量[X(t1) , X(t2)] ，若其二维概率密度为fX(x1, x2; t1 , t2),则定义 为随机过程{X(t), t ?T}的二维特征函数。 3.5 随机过程的特征函数 3、n 维特征函数 随机过程{X(t), t ?T}的在任意n个时刻t1 、 t2 、… 、 t