现代控制理论434301new.ppt

4.3.2 几个稳定性判据 设系统的状态方程为 xe=0为系统平衡状态满足f(xe)=0， 若可构造标量函数V(x)满足： ①标量函数V(x)对x具有连续一阶偏导数 ② V(x) 是正定的，即 V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态x满足V(x) 0 ③V(x)沿状态轨迹方向计算的时间导数V(x)=dV(x)/dt ． * 分别满足下列条件 为半负定的，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下稳定——稳定判据； 为负定的；或者虽然 为半负定，但对任意初始状态x(t0)≠0，除了x=0外，对x≠0， 不恒为零，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下渐近稳定的，如果进一步还有||x||→∞时，V(x)→∞，那么平衡状态xe为大范围渐近稳定的——渐近稳定判据； 为正定的，则平衡状态xe为李雅普诺夫意义下不稳定——不稳定判据。 * 例；设系统状态方程为 试确定该系统平衡状态的稳定性。 解：由平衡状态方程得 解得唯一的平衡状态为x1=0, x2=0, 即xe=0, 为坐标原点。 * 为一负定的标量函数，平衡状态（0,0）渐近稳定。 并且 ||x||→∞，有V(x) →∞， 系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。 选取一正定的标量函数 * 例；设系统状态方程为 x1=0, x2=0为系统唯一的平衡状态，试确定该系统平衡状态的稳定性。 解：选取一正定的标量函数 ≤ 0 * 且‖x‖→∞，有V(x) →∞ 系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。 ①x2 ? 0 ， x1任意 ② x2 ? -1， x1任意 由① ? x1 ? 0 只有原点满足 矛盾！ ? 　0 ? 有两种可能： 由② ? 即假设不成立 * 说明： (1)该判据适用线性和非线性、时变和时不变等各类动态系统； (2) Lyapunov函数V(x)不等同于能量，是一个正定标量函数，对x有连续的一阶偏导数； (3)系统渐近稳定性的判别，归结为V(x)的选取，一般选取V(x)为状态x的二次型函数，需要研究者的经验与技巧，V(x)的选取是非唯一的，不影响判定结论的一致性； (4)充分条件，且只表示平衡点邻域的局部稳定性； * 4.4.1线性定常系统的渐近稳定性 对线性定常系统 系统的稳定性和原点的稳定性是一致的，以下不再区分。 系统渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的某个正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足李雅普诺夫方程： 李雅普诺夫函数 * 若Q0，根据李雅普诺夫稳定性定理，系统是渐近稳定的。 选 则 * 例:某系统 解: 选Q=I , 由ATP+PA= - Q ，pij=pji . 其平衡状态在坐标原点，试判断该系统的稳定性。 * 注：由于P的对称性，只有 个未知数。 * 用Sylvester判据： P 0 ? 系统是渐近稳定的. 原则上Q为任意正定对称阵，且系统渐近稳定性的判断结果与Q的不同选取无关。具体应用时，Q常常取为正定对角阵或单位阵，以简化计算结果。 * 4.4.3 线性定常离散系统的渐近稳定性 对线性定常离散系统 平衡状态xe=0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足下述李雅普诺夫方程： * 现代控制理论Modern Control Theory 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法 * * 求解微分方程 * * * 4.1 Lyapunov稳定性的定义 稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的，线性定常系统由于只有唯一的一个平衡状态，所以才笼统地讲所谓的系统稳定性问题，对于其他系统则由于可能存在多个平衡状态，不同的平衡状态可能表现不同的稳定性，因此必须逐个分别加以讨论。 * * * * 定义：对自治系统 的平衡状态xe=0，若对任意给定的 ，存在一个 ，使得只要状态轨线的初始状态满足 ，由该初始状态出发的状态 轨线满足 。那么，系统的平衡状态xe=0称为是李雅普诺夫意义下稳定的。 李雅普诺夫意义下稳定 * 定义：对自治系统 的平衡状态xe=0，若该平衡状态xe=0是李雅普诺夫意义下稳定的，且当t→∞时，始于原点小邻域的轨线满足x(t)→0，则平衡状态xe=0称为是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。 李雅普诺夫意义下渐近稳定 渐近稳定性是局部性质。