2-3数学分析.pptVIP

§3 数列极限存在的条件 1 收敛数列的各项越到最后，离得越近，以至于充分后面的任何两项之距离可以任意小（挤到一起了）。 * 定义： 单调增加 单调减少 单调数列 单调减少 单调增加 如： 几何解释: 注1: 此准则只给出了极限存在的充分性条件，并没有给出极限是什么。但是，在已知极限存在时常可以通过一些方法求出极限（特别是由递推公式给出的数列的极限问题）。 定理9（单调有界定理） 在实数系中，单调有界的数列必有极限. 注2：由于数列极限与数列中的有限项无关，因此定理9可以叙述为：在实数系中，数列自某项之后单调有界，则必有极限. 证： 设{an}单调减有下界，从而有下确界。 另一方面，由于a是{an}的一个下界，故 . | | , , , 0 e e - $ a a N n N n 例1 证 由 xn0 ? A?0 , , 3 例3 证 * 两边取极限，得 . 0 lim , 0 , 0 ) 1 ( = = = ￥ ? n n n x x a 故 则 当 , 1 1 1 - + n n x x a n 时， 当 例4 S为有界集，证明：若supS=a S，则存在严格递增数列{xn} S,使得 证 a x1 x2 x3 xn 如此继续，得到xn-1后，取 例5 证明： 证： n!2n-1 从这个例子我们看到，一个有理数列的极限却是无理数，这说明有理数域对极限运算不封闭，极限理论必须在实数范围内研究。 同时，这个例子也这说明在有理数域内单调有界定理不成立。 将来我们会证明e是无理数, 例6 利用例5求： 解 定理10（Cauchy收敛准则） Cauchy条件 该定理从理论上解决了数列极限的存在性问题，其证明将在第七章给出。 2 　Cauchy条件说明，利用数列本身就可以判断是否收敛 ，而不借助数列之外的数a. 3 另一种形式： 注： *