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【步步高 通用(理】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题三 第一讲
专题三 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
第一讲 三角函数的图象与性质
1.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin α=y,cos α=x,tan α=.
(2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2. 正弦、余弦、正切的图象及性质
函数性质 y=sin x y=cos x y=tan x 定义域 R R {x|x≠kπ+,k∈Z} 图象 值域 [-1,1] [-1,1] R对称性 对称轴:x=kπ+(k∈Z);对称中心:(kπ,0)(k∈Z) 对称轴:x=kπ(k∈Z);对称中心:(kπ+,0)(k∈Z) 对称中心:(k∈Z) 周期 2π 2π π 单调性 单调增区间[2kπ-,2kπ+](k∈Z); 单调减区间[2kπ+,2kπ+] (k∈Z)
单调增区间[2kπ-π,2kπ]( k∈Z); 单调增区间(kπ-,kπ+)(k∈Z) 奇偶性 奇 偶 奇 3y=Asin(ωx+φ)的图象及性质
(1)五点作图法:五点的取法:设X=ωx+φ,X取0,,π,,2π时求相应的x值、y值,再描点作图.
(2)给出图象求函数表达式的题目,比较难求的是φ,一般是从“五点法”中的第一点(-,0)作为突破口.
(3)图象变换
y=sin xy=sin(x+φ)
y=Asin(ωx+φ).
1. (2013·江西)函数y=sin 2x+2sin2x的最小正周期T为________.
答案 π
解析 y=sin 2x+(1-cos 2x)=2sin+,
∴T=π.
2. (2013·山东)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )
A. B. C.0 D.-
答案 B
解析 把函数y=sin(2x+φ)沿x轴向左平移个单位后得到函数y=sin 2=sin为偶函数,则φ=.
3. (2013·四川)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω0,-φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )
A.2,- B.2,-
C.4,- D.4,
答案 A
解析 T=-,T=π,∴ω=2,
∴2×+φ=2kπ+,k∈Z,∴φ=2kπ-,k∈Z.
又φ∈,∴φ=-,选A.
4. (2012·课标全国)已知ω0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.(0,2]
答案 A
解析 取ω=,f(x)=sin,其减区间为,k∈Z,
显然,k∈Z,排除B,C.
取ω=2,f(x)=sin,
其减区间为,k∈Z,
显然,k∈Z,排除D.
5. (2011·安徽)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数.f(x)≤对x∈R恒成立,且ff(π),则f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 C
解析 由x∈R,有f(x)≤知,当x=时f(x)取最值,∴f=sin=±1,
∴+φ=±+2kπ(k∈Z),
∴φ=+2kπ或φ=-+2kπ(k∈Z),
又∵ff(π),∴sin(π+φ)sin(2π+φ),
∴-sin φsin φ,∴sin φ0.∴φ取-+2kπ(k∈Z).
不妨取φ=-,则f(x)=sin.
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
∴+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),
∴+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
题型一 三角函数的概念问题
例1 如图,以Ox为始边作角α与β(0βαπ),它们终边分别与单位圆相交于点P、Q,已知点P的坐标为(-,).
(1)求的值;
(2)若·=0,求sin(α+β).
审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α,cos α,代入求三角函数式子的值;(2)根据⊥和β范围可求sin β,cos β.
解 (1)由三角函数定义得cos α=-,sin α=,
∴原式==
=2cos2α=2×(-)2=.
(2)∵·=0,∴α-β=,∴β=α-,
∴sin β=sin(α-)=-cos α=,
cos β=cos(α-)=sin α=.
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+(-)×=.
反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据,如果已知角终边上的点,则利用三角函数的定义,可求该角的正弦、余弦、正切值.
(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用,应注意正确选择公式、注意公式应用的条件.
变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ
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