【步步高 通用(理】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题四 第三讲.doc

第三讲　推理与证明 (1)归纳推理的一般步骤： ①通过观察某些个别情况发现某些相同性质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)． (2)类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的相似性或一致性； ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． (3)综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，要求逐步推理，实际上是寻找它的必要条件． (4)分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，即把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止． (5)适合用反证法证明的四类数学命题： ①唯一性命题； ②结论涉及“至多”“至少”“无限”的命题； ③否定性命题； ④直接证明较繁琐或困难的命题． (6)数学归纳法 数学归纳法证明的步骤 ①证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时结论成立； ②假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论成立，证明n＝k＋1时结论也成立． 由①②可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，结论都成立． 1． (2013·福建)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是(　　) A．A＝N*，B＝N B．A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|x＝－8或0x≤10} C．A＝{x|0x1}，B＝R D．A＝Z，B＝Q 答案　D 解析　对于A，取f(x)＝x＋1，满足题意． 对于B，取f(x)＝ 对于C，取f(x)＝tan[π(x－)]，满足题意． 排除法，选D. 2． (2013·陕西)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …… 照此规律，第n个等式可为________． 答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1· 解析　观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n＋1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{an}，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1. 3． (2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 三角形数　　　　N(n,3)＝n2＋n， 正方形数 N(n,4)＝n2， 五边形数 N(n,5)＝n2－n， 六边形数 N(n,6)＝2n2－n ……………………………………… 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝___________. 答案　1 000 解析　由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n， ∴N(10,24)＝×100＋×10 ＝1 100－100＝1 000. 4．(2012·陕西)观察下列不等式： 1＋， 1＋＋， 1＋＋＋， …… 照此规律，第五个不等式为________． 答案　1＋＋＋＋＋ 解析　归纳观察法． 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列． ∴第五个不等式为1＋＋＋＋＋. 5．(2013·福建)当x∈R，|x|1时，有如下表达式： 1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝. 两边同时积分得：?01dx＋?0xdx＋?0x2dx＋…＋?0xndx＋…＝?0dx， 从而得到如下等式： 1×＋×()2＋×()3＋…＋×()n＋1＋…＝ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法计算： C×＋C×()2＋C×()3＋…＋C×()n＋1＝________. 答案　[()n＋1－1] 解析　设f(x)＝Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cxn＋1， ∴f′(x)＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n. ∴f＝?0(1＋x)ndx＝0 ＝n＋1－(1＋0)n＋1 ＝， 即C×＋C×2＋C×3＋…＋C×n＋1＝.  题型一　合情推理 例1　(1)设数列{an}是首项为0的递增数列，n∈N*，fn(x)＝，x∈[an，an＋1]，满足：对于任意的b∈[0,1)，fn(x)＝b总有两个不