【步步高】2012高考数学二轮复习 专题七 第1讲几何证明选讲.doc

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【步步高】2012高考数学二轮复习 专题七 第1讲几何证明选讲

专题七 选修系列4第1讲 几何证明选讲 (推荐时间:60分钟) 一、填空题 1. (2011·陕西)如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则BE=________. 2.(2011·湖南)如图,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交于点F,则AF的长为________. 二、解答题 3.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BA的延长线上,CE交AD于点F,∠ECA=∠D.求证:AC·BE=CE·AD. 4.(2011·江苏)如图,圆O1与圆O2内切于点A,其半径分别为r1与r2(r1r2).圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上).求证:AB∶AC为定值. 5.如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD=,点E,F分别为线段AB,AD的中点,求EF的长. 6.如图所示,点P是圆O直径AB延长线上的一点,PC切圆O于点C,直线PQ平分∠APC,分别交AC、BC于点M、N.求证:(1)CM=CN;(2)MN2=2AM·BN. 7.如图,四边形ABCD内接于⊙O,=.过A点的切线交CB的延长线于E点.求证:AB2=BE·CD. 8.如图,PA切⊙O于点A,割线PBC经过圆心O,OB=PB=1,OA绕点O逆时针旋转60°到OD,求PD的长. 9. 如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H,∠ABC=60°,F在AC上,且AE=AF. 求证:(1)B、D、H、E四点共圆; (2)CE平分∠DEF. 10.如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连结FB,FC. (1)求证:FB=FC; (2)求证:FB2=FA·FD; (3)若AB是△ABC外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6 cm,求AD的长. 1.4 2. 3.证明 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AF∥BC,所以=. 又因为AE∥CD,所以△AFE∽△DFC, 所以=,即==. 又因为∠ECA=∠D,∠CAF=∠DAC, 所以△AFC∽△ACD,所以=, 所以=, 所以AC·BE=CE·AD. 4. 证明 如图,连结AO1并延长,分别交两圆于点E和点D.连结BD,CE. 因为圆O1与圆O2内切于点A,所以点O2在AD上,故AD,AE分别为圆O1,圆O2的直径. 从而∠ABD=∠ACE=. 所以BD∥CE, 于是===. 所以AB∶AC为定值. 5.解 连结DE,由于E是AB的中点,故BE=.又CD=,AB∥DC,CB⊥AB, ∴四边形EBCD是矩形. 在Rt△AED中,AD=a,F是AD的中点,故EF=. 6.证明 (1)∵PC切圆O于点C, ∴∠PCB=∠PAC, 又∵∠CPM=∠APM,∴∠CNM=∠CPM+∠PCB=∠APM+∠PAM=∠CMN, ∴CM=CN. (2)∵∠CPN=∠APM,∠PCN=∠PAM, ∴△PCN∽△PAM,∴=,① 同理△PNB∽△PMC,∴=.② 又∵PC2=PA·PB,③ 由①②③可知CM·CN=AM·BN, ∵CM=CN,∴CM2=AM·BN. ∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=90°. ∴MN2=2CM2,即MN2=2AM·BN. 7.证明 连结AC. ∵EA切⊙O于A,∴∠EAB=∠ACB, ∵=, ∴∠ACD=∠ACB,AB=AD. ∴∠EAB=∠ACD. 又四边形ABCD内接于⊙O, 所以∠ABE=∠D. ∴△ABE∽△CDA. ∴=,即AB·DA=BE·CD. ∴AB2=BE·CD. 8.解 方法一 连结AB, ∵PA切⊙O于点A,B为PO中点, ∴AB=OB=OA, ∴∠AOB=60°,∴∠POD=120°. 在△POD中,由余弦定理得PD2=PO2+DO2-2PO·DO·cos∠POD=4+1-4×(-)=7.∴PD=. 方法二 过D作DE⊥PC,垂足为E, ∴∠POD=120°, ∴∠DOE=60°,可得OE=,DE=, 在Rt△PED中, PD===. 9.证明 (1)在△ABC中,∵∠ABC=60°, ∴∠BAC+∠BCA=120°. ∵AD,CE分别是△ABC的角平分线, ∴∠HAC+∠HCA=60°, ∴∠AHC=120°. ∴∠EHD=∠AHC=120°. ∴∠EBD+∠EHD=180°. ∴B,D,H,E四点共圆. (2)连结BH,则BH为∠ABC的平分线, ∴∠EBH=∠HBD=30°. 由(1)知B,D,H,E四点共圆, ∴∠CED=∠HBD=30°, ∠HDE=∠EBH=30°. ∴∠HED=∠HDE=30°

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