【走向高考】(203春季发行)高三数学第一轮总复习 5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题 新人教A版.doc

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【走向高考】(203春季发行)高三数学第一轮总复习 5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题 新人教A版

5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题 基础巩固强化1.(2012·沈阳市二模)在平行四边形ABCD中,BAD=60°,AD=2AB,若P是平面ABCD内一点,且满足x+y+=0(x,yR),则当点P在以A为圆心,||为半径的圆上时,实数x,y应满足关系式为(  ) A.4x2+y2+2xy=1    B.4x2+y2-2xy=1 C.x2+4y2-2xy=1 D.x2+4y2+2xy=1 [答案] D [解析] x+y+=0,=x+y, AD=2AB,BAD=60°,BD=AB,||=||=||,||2=(x+y)2=x2||2+y2||2+2xy··=x2||2+4y2||2+2xy·||·||·cos60°=(x2+4y2+2xy)||2,x2+4y2+2xy=1,故选D. 2.(2012·河北郑口中学模拟)已知P是ABC所在平面内一点,++2=0,现将一粒黄豆随机撒在ABC内,则黄豆落在PBC内的概率是(  ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 如图,+==2,++2=0,+=0,P为AD的中点, 所求概率为P==. 3.在ABC中,(+)·=||2,则三角形ABC的形状一定是(  ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 [答案] C [解析] 由条件知||2=(+)·(-) =||2-||2,AB2+AC2=BC2, ABC为直角三角形. 4.(2012·郑州六校质检)已知a、b为非零向量,m=a+tb(tR),若|a|=1,|b|=2,当且仅当t=时,|m|取得最小值,则向量a、b的夹角为(  ) A. B. C. D. [答案] C [解析] m=a+tb,|a|=1,|b|=2,令向量a、b的夹角为θ,|m|=|a+tb|===. 又当且仅当t=时,|m|最小,即+=0, cosθ=-,θ=.故选C. 5.(文)(2011·河南质量调研)直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M、N,若c2=a2+b2,则·(O为坐标原点)等于(  ) A.-7 B.-14 C.7 D.14 [答案] A [解析] 记、的夹角为2θ.依题意得,圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于=1,cosθ=,cos2θ=2cos2θ-1=2×()2-1=-, ·=3×3cos2θ=-7,选A. (理)设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时,·的值等于(  ) A.0    B.2    C.4    D.-2 [答案] D [解析] 由题意得c==, 又S四边形PF1QF2=2SPF1F2=2××F1F2·h (h为F1F2边上的高),所以当h=b=1时,S四边形PF1QF2取最大值,此时F1PF2=120°. 所以·=||·||·cos120° =2×2×(-)=-2. 6.如图,在ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,且O是ABC的外心,则·=(  ) A.6    B.-6    C.8    D.-8 [答案] D [解析] AB2=AC2+BC2,ACB为直角, O为ABC外心, ·=-·=-(+)· =-||2-·=-8. 7. (文)(2011·佛山二检)如图,在边长为2的菱形ABCD中,BAD=60°,E为CD的中点,则·=________. [答案] 1 [解析] 以A为原点,AB所在的直线为x轴,过A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系. 由题设条件得A(0,0)、B(2,0)、E(2,)、D(1,), ·=1. (理) (2012·宁夏三市联考)在平行四边形ABCD中,已知AB=2,AD=1,BAD=60°,E为CD的中点,则·=________. [答案] - [解析] ·=(+)·(+)=·+·+·+·=-. 8.(2011·河北玉田一中质检)已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,则t的取值范围为________. [答案] t≥5 [解析] 由题意知,f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,则f ′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则f ′(x)≥0在(-1,1)上恒成立t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立,令g(x)=3x2-2x,由于g(x)的图象是对称轴为x=、开口向上的抛物线,故要使t≥3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立,必有t≥g(-1)成立,即t≥5成立.故使f(x)在(-1,1)上是增函数的t的取值范围是t≥5. 9. 如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B

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