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牛吃草问题概念及公式 　　牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰ 　　1) 设定一头牛一天吃草量为“1” 　　1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）； 　　2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；` 3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； 　　4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 这四个公式是解决消长问题的基础。 　　由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。 　　牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。 　　解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 　　这类问题的基本数量关系是： 　　1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。 　　2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。 　　　　【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？ 　　A.3 B.4 C.5 D.6　 　【 名师姚璐答案】C 　　 设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃Y天 　　根据核心公式 代入 　　(200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5(天） 　　 例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？ 　　A.20 B.25 C.30 D.35 　　【案】C 　　【解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天， 　　根据核心公式代入 　　(20×10-15×10)=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30(头） 　　 【例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？ 　　A.50 B.46 C.38 D.35 　　【答案】D 　　【解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为Y ， 24天内吃尽40公亩牧场的草，需要Z头牛　　、 根据核心公式：　　，代入　　，因此 ，选择D 　　【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。 【例5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？【北京社招2006】 　　A.16 B.20 C.24 D.28 　　【 名师姚璐答案】C 　　【解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y小时 　　有恒等式：　　解 ，得 ，代入恒等式 　　 【例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）、 　　A.2周 B.3周 C.4周 D.5周　　【答案】C 　　 设每天新生长的野果足够X只猴子吃，33只猴子共需Y周吃完 　　有恒等式： 　　解 ，得 ，代入恒等式 　　 【例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】 　　A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时 　　【璐答案】D 　　【解析】设共需X小时就无人排队了。 例题 　　　1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数 　　设一个检票口一分钟一个人 　　1个检票口30分钟30个人 　　2个检票口10分钟20个人