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* HOHAI UNIVERSITY 第十章 弯曲应力 1.梁横截面上的内力——剪力、弯矩 2.σ M FQ τ §10-1 概 述 σ τ M FQ CD段 AC段和DB段 ——纯弯曲 ——横力弯曲 F A B F C D F a a M Fa - - FQ F F + 应力分布 应力公式 变 形 应变分布 变形几何关系 （变形规律） 物理关系 （应力应变关系） 3. 研究思路 ——三个关系(变形几何关系、物理关系、静力学关系) 静力学关系 （力系合成） §10-2 梁弯曲时横截面上的正应力 一、纯弯曲粱的正应力公式 1.变形几何关系 相对原来位置转过一角度，仍为直线； 弯成弧线； 上部略有扩展，下部略有收缩。 横线： 纵线： 横截面： 上部纵线缩短，下部纵线伸长。 与弯曲后的纵线正交。 变形现象： 变形后的横截面仍为平面， 假设1 （平面假设） (单向受力假设) 各纵向线间无挤压， 假设2 并与弯曲后的纵向层正交。 每根纵向线处于单向受力状态。 ——中性层 梁内有一层纵向线既不伸长，也不缩短 ——中性轴 中性层与横截面的交线 纵向对称面 中性层 中性轴 z x 横截面 纵向对称轴 y 变形几何关系： O1 2 1 1 2 O2 dx a b y 取微段梁dx O1 2 1 1 2 O2 dq a b y r dx 1 1 2 2 ab的线应变： ——应变分布 横截面上任一点ε与y成正比 O1 2 1 1 2 O2 dx a b y O1 2 1 1 2 O2 dq a b y r 2.物理关系 σ=Eε =E y ρ 横截面上各点处σ与y成正比 高度方向线性分布； 宽度方向均匀分布。 x 单向受力假设 ——应力分布 ——应变分布 3.静力学关系 ——中性轴过形心 ① ② ——yz为形心主轴 σ=Eε =E y ρ x M dA σdA 空间平行力系 y z EIz —— 梁的弯曲刚度 x M dA σdA 空间平行力系 y z ——中性层曲率公式 ③ σ=Eε =E y ρ Iz M·y = s ——正应力公式 σ=Eε =E y ρ 1 ρ = M E Iz M M M M y z b.正应力正负号确定： 可由M与y的符号确定， + + - - 也可由弯曲变形情况确定。 a.公式适用条件： 等直梁、线弹性、纯弯曲 Iz Wz = ymax 令 ① z轴为对称轴时： c.最大正应力： ② z轴为非对称轴时: —弯曲截面系数 z z z c z 三、正应力公式的推广 对于横力弯曲变形，两个假设并不成立。但实验和理论分析表明，当l/h（跨高比）较大（5）时，误差很小，可满足工程的精度要求。 M(x)y Iz = s 1 ρ(x) = M(x) E Iz Iz M (x) ymax = smax 例 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面，试求三种截面的最大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为100mm。 A B F=20kN 3m C 3m 解： 1. 求最大弯矩Mmax 2. 矩形截面 3. 圆形截面 4. 工字形截面 A B F=20kN 3m C 3m 由 得 查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2） 例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉应力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。 B、D截面为危险截面 MB=-40kN·m MD=22.5kN·m 解： 1.作FQ、M图 A B q=20kN/m 4m C 2m A B q=20kN/m 4m C 2m D x M(kN·m) 40 22.5 1.5m x FQ(kN) 30 50 40 + - + + - z y 220 60 280 c 180 60 B、D截面为危险截面 MB=-40kN·m MD=22.5kN·m B截面： 上部受拉、下部受压 A B q=20kN/m 4m C 2m D x M(kN·m) 40 22.5 1.5m + - z y 220 60 280 c 180 60 D截面: 上部受压、下部受拉 B、D截面为危险截面 MB=-40kN·m MD=22.5kN·m A B q=20kN/m 4m C 2m D x M(kN·m) 40 22.5 1.5m + - z y 220 60 280 c 180 60 z y 220 60 280 c yC=180 60 D截面 D截面为最大拉应力截面； B截面为最大压应力截面 §10-3 梁弯曲时横截面上的切应力 两个假设 假设1：切应力与横截面的侧边平行，与剪力方向一致； 假设2：切应力沿截面宽度均匀分布。