第九章欧氏空间独立作业2011.doc

第九章欧氏空间独立作业及解答 （2011-6） 设实数域上的矩阵A为，V是实数域上的3维线性空间，V上的一个双线性函数在V的一个基下的度量矩阵为A，证明是V的一个内积；并且求出V对于这个内积所成的欧氏空间的一个标准正交基。 ［解法提要］ 　（1）　，可以验证是V的一个内积； （2）　可以用schmidt正交化方法，只是注意这里的内积是，可得 （由基出发得到）。 设是欧氏空间V的一组标准正交基，试求一个正交变换使 ［解法提要］由是线性变换，可设，再由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，所以是正交变换的条件是过渡是正交矩阵。 A是正交矩阵 即。 设是具有通常内积的欧氏空间，W是的子空间， （1）如W是下列方程组 的解空间，求W＝？，W在中的正交补＝？ （2）求W和的标准正交基。 ［解法提要］ 求出线性方程组的基础解系：，其一个标准正交基为：； 正交基为：。 试求将相似对角化的正交矩阵。 ［解法提要］ 1