第九讲个位数与完全平方数.doc

[文件] sxjsck0007 .doc [科目] 数学 [关键词] 初一/ 个位数/平方数 [标题] 个位数与完全平方数 [内容] 个位数与完全平方数 个位数 正整数幂的个位与其底数的个位有周期性关系.下面首先介绍其周期性及一些相关性质，通过例题来说明它的应用. 关于个位周期我们用下表说明：（此处无表） 注：表中G a 、G an 分别表示整数a及an的个位，当n 4k+r r 0，1，2，3，k∈N 时，a4k+r时，a4k+r的个位与a的个位相同. 下面两条性质是显然的：性质1 和的个位数字是诸加项个位数字之和的个位数字. 性质2 积的个位数字是诸因数个位数字之积的个位数字. 确定高次幂的个位数及连乘积的个位数. 例1 （杭州首届“永是杯”初二数学竞赛题） 1座机电话号码·1座机电话号码·1座机电话号码的个位数是多少? 解 1座机电话号码 19874×496+3，个位为3； 1座机电话号码 19884×497，个位为6； 1座机电话号码 19894×497+1，个位为9， ∴1座机电话号码·1座机电话号码·1座机电话号码个位数是3×6×9的个位数即为2. 例2 求的个位数字， 解 令M1 4747，M2 4747，…，Mn 则 M1的个位数 4747的个位数 474×11+3的个位数 473的个位数 3， M2的个位数 47M1的个位数 4747的个位数 3， …… ∴Mn的个位数 47Mn-1的个位数 … 3. 一般地，我们有关于高次幂的一个有趣性质：若b、c均为奇数，则Mbc的个位数 M的个位数. 对b、c取其它奇偶情况时，读者不妨自己作出结论，并加以证明. 利用个位数来研究幂指数 从上表中我们易得下面两个性质： 1°.任何整数的 4k+2次方个位数不可能为2、3、7、8.（只可能是0、1、4、5、6、9） 2°.任何整数的4k+4次方个位数不可能是2、3、4、7、8、9.（只可能是1、5、6） 例3 试证明1+2+3+…+n，这n个连续的自然数的和的个位数不可能是2、4、7、9. 证明 1+2+3+…+n ，由穷举法易得n2+n个位数可能是2、6、0，故 个位只能是1、6、3、8、0、5，不可能是2、4、7、8. 例4 证明方程x12-5y7-4 0不可能有整数解 证明 ∵x12的个位数为1、6、5，5y7个位数只能是0或5，显然x12-5y7-4永远不可能等于0，故方程无解. 判定一个整数是否能被整除 例5 已知整数a不能被5整除，试证明a4-1能被5整除. 证明 依题意知a的个位数不能是0或5. 当a的个位数为1、3、7、9时，a4的个位数均为1，于是a4-1的个位数为0 当a的个位数为2、4、6、8时，a4的个位数均为6，于是a4-1的个位数都是5. 所以无论哪种情况，a4-1都能被5整除. 例6 （匈牙利1900—1901竞赛试题）证明当且仅当指数n不能被4整除时1n+2n+3n+4n能被5整除.（其中n是正整数） 证明 设A 1n+2n+3n+4n，当n 4k k为整数 时，1n、3n的个位数均为1，2n、4n的个位均为6，显然5 A. 当n≠4k时，若n 4k+1，易知A的个位 （1+2+3+4）的个位 0，∴5|A； 当n 4k+2时，A的个位 （1+4+9+16）的个位 0，∴5|A. 当n 4k+3时，A的个位 （1+8+27+64）的个位 0，∴5|A. 综上所述仅当n不是4的倍数时5|A. 其它类型 例7 （日本1990年参加国际数学竞赛国内选拔赛）某正整数之平方，其末三位是非零的相同数字，求具有该性质的最小正整数. 解 设所求数为p＞0,p2既具有末三位数,则p2至少有三位数,p至少有二位数. 设p 10a±b a、b为正整数，1≤b≤5 p2 100a2±20ab+b2 100a2+10 ±2ab +b2 验证知当b 1、3、5、4时，p2的十位和个位数字奇偶性相反； 当b 2时，p2的末两位数字奇偶性相同. 所以所求数必须形如10a±2，而P 12时P2 144，末两位数字为4. 又注意 （50n±x）2 2500n+100nx+x2 100（25n2+nx）+x2 ∴ 50n2±12 2 100 25n2±nx +144. 容易验证上式中当n 1，并取“-”号时，有382 1444便是符合要求的最小正整数. 完全平方数 定义 设n是正整数，若存在正整数m使n m2，称n是一个完全平方数. 与完全平方数有关的问题经常出现在国内外中学数学竞赛题及各种智力问题征解中，这些问题不仅结论奇妙，且解法耐人寻味. 判断一个数是完全平方数 先看一个限时一分钟解答的选择题：例8 有四个数①921438，②76186，③750235，④座机电话号码，其中只有____是