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6.5 离散系统的稳定性与稳态误差 与线性连续系统分析中的情况一样，稳定性和稳态误差是线性定常离散系统分析的重要内容。本节主要讨论如何在域和域中分析离散系统的稳定性，同时给出计算离散系统稳态误差的方法。 在平面上分析离散系统的稳定性， 可以借助于连续系统在平面上稳定性的分析方法。为此首先需要研究平面与平面的映射关系。 6.5.1 域的映射 在变换定义中，（为采样周期）给出了域到域的映射关系。域中的任意点可表示为，映射到域则为 (6-44) 于是域到域的基本映射关系式为 (6-45) ，相当于取平面的虚轴，当从变到时，由式(6-44)知，映射到平面的轨迹是以原点为圆心的单位圆。只是当平面上的点沿虚轴从移到时(其中，为采样角频率)，平面上的相应点沿单位圆从逆时针变化到(见式（6-45）中计算式)，正好转了一圈；而当平面上的点在虚轴上从移到时，平面上的相应点又将逆时针沿单位圆转过一圈。依次类推，如图6-24所示。由此可平面划分为无穷多条平行于实轴的周期带，其中从到的周期带称为主带，其余的周期带称为辅带。为了研究平面上的主带在平面上的映射，可分以下几种情况讨论。 图6-24 平面虚轴在平面上的映射 1. 等线映射 平面上的等垂线，映射到平面上的轨迹，是以原点为圆心，以为半径的圆，如图6-25所示。由于平面上的虚轴映射为平面上的单位圆，所以左半平面上的等线映射为平面上的同心圆，在单位圆内；右半平面上的等线映射为平面上的同心圆，在单位圆外。 图6-25 平面和平面上的等轨迹 2. 等线映射 在采样周期确定的情况下，由式（6-45）可知，平面上的等水平线，映射到平面上的轨迹，是一簇从原点出发的射线，其相角，以实轴正方向为基准，如图6-26所示。由图可见，平面上水平线，在平面上正好映射为负实轴。 图6-26 平面和平面上的等轨迹 3. 等阻尼线映射 平面上的等阻尼线可用下式描述： 其中，为等阻尼线与实轴负方向之间的夹角。于是 因此，等阻尼线从域到域的映射关系式为 (6-46) 由式(6-46)可见，当为常数时，等阻尼线映射为平面单位圆内一簇收敛的对数螺旋线，其起点在平面上正实轴的+1处，终点为平面的原点。图6-27表示了的等阻尼线映射关系。 图6-27 平面和平面上的等阻尼轨迹（） 有了以上映射关系，现在讨论平面上周期带在平面上的映射。设平面上的主带如图6-28(a)所示，通过变换，映射为平面上的单位圆及单位圆内的负实轴，如图6-28(b)所示。类似地，由于 因此左半平面上所有辅带在平面上均映射为相同的单位圆及单位圆内的负实轴。 图6-28 左半平面的主带在平面上的映射 6.5.2 线性定常离散系统稳定的充分必要条件 离散系统稳定性的概念与连续系统相同。如果一个线性定常离散系统的脉冲响应序列趋于零，则系统是稳定的，否则系统不稳定。 由域到域的映射关系及连续系统的稳定判据，可知: (1)左半平面映射为平面单位圆内的区域，对应稳定区域； (2)右半平面映射为平面单位圆外的区域，对应不稳定区域； (3)平面上的虚轴，映射为平面的单位圆周，对应临界稳定情况，属不稳定。 假设离散控制系统输出的变换可以写为 式中,是的多项式，并且的阶数高于的阶数。系统在单位脉冲作用下，有 (6-47) 式中，为的极点。 对式（6-47）求z反变换得 若使 ，必须有 ，即离散系统的全部极点均位于平面上以原点为圆心的单位圆内。 另一方面，如果离散系统的全部极点均位于平面上以原点为圆心的单位圆之内，则有 则一定有 说明系统稳定。 综上所述，线性定常离散系统稳定的充分必要条件是：系统闭环脉冲传递函数的全部极点均分布在平面上以原点为圆心的单位圆内，或者系统所有特征根的模均小于l。 例6-17 设离散系统如图6-21所示，其中。试分析系统的稳定性。 解 由可求出开环脉冲传递函数，即 根据式(6-43)，可得出系统闭环特征方程 解出特征方程的根 因为 所以该离散系统稳定。 应当指出，当例6-17中无采样器时，对应的二阶连续系统总是稳定的，引入采样器后，采样点之间的信息会丢失，系统的相对稳定性变差。当采样周期增加时，二阶离散系统有可能变得不稳定。 当系统阶数较高时，直接求解差分方程或特征方程的根是不方便的，希望寻找间接的稳定判据，这对于研究离散系统结构、参数、