建模课堂大作业.docVIP

信息专业组：何海珍、孙先红、唐正正 问题一：3.2 生猪的出售时机 要求：1、模型描述（可参考课件）； 2、选择具体两组参数，求出相应结果（用Mathematica数学软件，要有具体程序、结果和图表）； 3、结果分析和适当讨论，最终形成一篇小文章。 利用数学模型求解生猪的最佳销售时机问题 1　生猪最佳销售时机问题 从事猪的商业性饲养和销售自然是希望获得尽可能大的利润,因此,养猪是否获利,怎样获得最大利润,是饲养者必须首先考虑的问题。如果忽略饲养技术水平、猪的类型等因素,并且不考虑市场需求的变化,那么影响获利大小的一个主要因素就是如何选择生猪的售出时机,即何时卖出获利才最大。可能会有人认为,猪养得越大,售出后获利越大。其实不然,精明的饲养者都知道,随着猪的生长,单位时间消耗的饲料费用也会越来越多,但同时其体重的增加速度却不断下降,而销售价格不会随体重的增加而增加,所以饲养时间过长是不合算的。下面就做出适当的假设,建立猪的最佳销售时机的数学模型。利用平衡原理是建立微分方程模型的一个常被选用的主要方法。应当注意的是,平衡原理在建立微分方程模型时常表现为区间[ x, x +Δx ]上的微元形式:某个量在该区间上的增加量等于该区间段内进入量与迁出量的差。 2　问题分析与主模型建立 设猪开始进行饲养的时刻为t 0,且此时猪的体重为x0 ,若x t 为一头猪在t时刻的重量,则有x 0 x0。又设xm 为该品种猪的最大体重,那么由前面分析知其生长速度到达一定程度就会减慢下来,到达最大体重xm 时,生长速度为零。依此分析,发现猪的体重增长的过程与人口增长过程很类似,通过类比方法可设体重函数x t 满足 其中, k是反映猪的生长速度快慢的常数。可见,随着体重的增长,其生长速度不断减慢直至为0。 又设y t 表示一头猪从开始饲养到t时刻共消耗的饲养费用 包括饲养人员工薪等 , xs 为猪可上市销售的最小体重, ts 为猪从体重x0 增长至xs 所需的饲养时间, p t, x 为t时刻体重为x的猪的单位售价。由于建模目的是寻求使得纯利润尽可能大的猪的售出时刻,因此若t时刻将猪售出,则销售总收入为p t, x ·x t ,而总支出为y t + p0 x0 ,于是 纯利润为F t p t, x ·x t - y t + p0 x0 , 0 ts ≤t问题就成为求F t 的最大值,即 2 式即问题的主模型。剩下的问题是如何求出p t, x 及x t ,其中x t 已由 1 式确定,只需求出y t 与p t, x 。 2. 1　分模型假设 1 该模型只对某一品种的猪进行讨论,涉及猪的性质的其他有关参数均视为常数。 2 由于开始饲养时猪已有一定体重x0 ,故假定猪随着体重的增长,生长速度不断减慢。 3 猪的体重越大,单位时间消耗的饲养费用就越多,达到最大体重后,单位时间消耗的饲养费为一常数a。 4 通过市场调查知p t, x 与体重的变化关系很微小,且不考虑市场需求,即可视p t, x 为常数p。 2. 2　分模型建立　依假设 3 ,单位时间消耗的饲养费用a可具体分解为两部分:一部分与体重有关 如饲料的费用 记为b,另一部分为固定费用 如饲养员薪金 ,自然为a - b。由平衡原理,单位时间间隔[ t, t + △t ]内饲养费用的增加量为 其中右端第一项为固定费总值,第二项为与体重有关的费用。利用积分中值定理可得这一部分结果为b/xm*x t +θ△t △t, 0 θ 1 。 于是y t + △t - y t a - b △t +b/xm*x t +θ△t △t两边遍除△t,并令△t→0,便得 Dy/dt a - b +bx/mx t a - b 1 -x t xm 显然有y 0 0,于是得分模型为 （3） （1） 2. 3　分模型求解　注意到 1 与 3 的联系,先解 1 。 1 的方程是一阶线性非齐次微分方程: 代入一阶线性非齐次微分方程的求解公式可解得 代入x 0 x0 并整理即得 1 的解为x t xm + x0 -xm e^- kxm t 4 由 4 可解出 代入方程 3 ,便有其变形 这样便可直接积分而获得 y t at -bk xm - x0 1 -e- kxm t 5 易见, k越大, y t 越小,即增长速度越大,饲养费用越小,是符合实际的。 2. 4　主模型求解　由假设 4 ,主模型为 其中x t , y t 已由 4 、 5 给出。令F′ t 0,可得到