(同济大学)高等数学课件D4_3分部.pptVIP

第三节 例1. 求 例2. 求 例3. 求 例4. 求 解题技巧: 例6. 求 例7. 求 例8. 求 例9. 求 说明: 例10. 证明递推公式 说明: 例11. 已知 例12. 求 解法2 用分部积分法 内容小结 例13. 求 例14. 求 思考与练习 2. 求 作业 * 由导数公式 积分得: 分部积分公式 或 1 v 容易求得 ; 容易计算 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法 第四章 解: 令 则 ∴ 原式 思考: 如何求 提示: 令 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 ∴ 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 , 则 ∴ 原式 再令 , 则 故 原式 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 后者为 例5. 求 解: 令 , 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 解: 令 , 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 解: 令 则 ∴ 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 得递推公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 递推公式 已知 利用递推公式可求得 例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 注: 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分题目的类型: 1 直接分部化简积分 ; 2 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; 注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C 例4 3 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 . 例4 目录 上页 下页 返回 结束 的一个原函数是 求 解: 说明: 此题若先求出 再求积分反而复杂. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法1 先换元后分部 令 即 则 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分公式 1. 使用原则 : 易求出, 易积分 2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后 3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 递推公式 4. 计算格式 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 可用表格法求 多次分部积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 原式 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 下述运算错在哪里? 应如何改正? 得 0 1 答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对比 P354 公式 128 , 129 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * * * *