现代控制理论-2-控制系统状态空间描述-第2、3讲.ppt.ppt

本章总结 3、传递函数矩阵以及由状态空间表达式求解传递函数矩阵 4、系统状态方程的线性变换 ⅰ、 基本知识及概念 ⅱ、 状态方程的两种标准形式——对角式、约当式 ⅲ、 将状态方程化为标准形式的方法 状态向量 非奇异变换矩阵 新状态 向量 2.6 系统状态方程的线性变换 若含有D阵的话，易知有： 例2.10 设系统的状态空间表达式为： 若取变换矩阵 则 新的状态方程： 若取变换矩阵 则 新的输出方程： 系统矩阵对角化！ 状态变量之间解耦！ 二、系统特征值和特征向量 1、定义： 1）特征值： 设 是 一个 的矩阵，则称 为 的特征值。 2）特征向量： 任何满足 的n维非零向量P称为A 的对应于特征值 的特征向量。 注意：系统经非奇异变换，其特征值是不变的。 2、相关计算 1）特征值的计算 例2.11 求下列矩阵的特征值 。 解： 特征值为： 2）特征向量的计算 例2.12 求矩阵的特征向量 解：1)、其特征值在例2.11中已求出: 2)、计算对应于特征值的特征向量 解得： 3)、同理可算出 和 对应的特征向量 所以有： 三、状态方程的几种标准型 1、对角标准型 对于线性系统 若A的特征值是互异的，则必存在非奇异变换 矩阵P，经过变换 ，使原状态空间表达 式变换为对角标准型 式中 ， ， 。 的特征值 所对应的特征向量，即 变换为对角线标准型。 例2.13 试将状态方程： 解：Ⅰ. 求特征值： Ⅱ. 求特征向量和变换矩阵P 求λ1=-1对应的P1： 同理可得： 例2.14 试将下列动态方程变换为对角标准型。 解：（1）求系统的特征值和特征向量 （2）构造变换矩阵P，并求 。 ∵ A为友矩阵，并且有互异实特征值， ∴ 变换矩阵可直接写为范德蒙特 矩阵形式： （4）变换后的动态方程为: （3）计算 ， ， 1)、约当矩阵：形如 的矩阵 约当块 约当块的个数 每个约当块的阶数 2)、约当标准型 2、约当标准型 mi×mi mi重特征值λi 当A阵具有重实特征值时: ① A 阵虽有重特征值，但仍然有n个独立的特征向 量。 ② 矩阵A不但具有重特征值，而且其独立特征向 量的个数也少于n。 约当标准型(不能化为对角型) 如果 A 阵具有m 重实特征值 ，且只有一个独立的特征向量 与之对应，则只能使A化为约当阵J: 当系统的状态空间表达式中的系统矩阵A为约当矩阵时，则称该状态空间表达式为约当标准型。 同无重特征值一样，能化为对角型 变换矩阵 重根 的非独立特征向量，也称广义特征向量 互异特征值对应的独立特征向量，也称实特征向量 变换矩阵 的非独立特征向量，也称广义特征向量 互异特征值对应的独立特征向量，也称实特征向量 特征向量的求取： m重根 的m-1个非独立特征向量 例2.15 试将下列动态方程变换为约当标准型。 解：（1）系统特征多项式为 解出特征值为 （2）对应于特征值 的特征向量 ， 有 ， 即 亦即 解得， 。 由于 ，故对应特征值 的独立特征向量只有一个(因为 )， 即 求解可得， 另一个为广义特征向量，设为 根据 最后确定 的特征向量。