第十二章 数学物理方程和定解条件new.ppt

设杆做纵振动的位移函数为 u x, t ，杆的杨氏模量为 E ，体密度为 r ，在 x 处的横截面积为 S x ，dx 做纵振动时的运动方程为： 例题 解 试推导一均质细圆锥杆的纵振动方程。 纵向（水平方向）： 两边同除以 dx 将 代入上式，可得： 约去 p 和 tana ，化简整理得 令 则 此绳为柔软轻绳，可视作忽略掉重量的弦，设绳的平衡位置为水平线，位移函数为 u x, t ，绳的线密度为 r ，类似弦的横振动分析，dx 做横振动时的运动方程为： 例题 解 长为 l 的均质柔软轻绳，一段固定在竖直轴上，绳子以角速度 w 转动。试导出此绳相对于水平线的横振动方程。 横向（竖直方向）： 此绳以角速度 w 转动，绳上任意一处 x 的张力，由 x 到 l 这段绳的惯性离心力所提供，因此 离心力 向心力 mw2r 方程可化为 两端同除以 r dx 则 12.4 稳定问题 亥姆霍兹方程 即 u 随 t 周期的变化 为波数 静电场电势 波动方程 拉普拉斯方程 泊松方程 u 不随 t 变化 热传导方程 （扩散方程） 稳定态 一般情况 拉普拉斯方程 椭圆型方程 泊松方程 抛物型方程 热传导方程 双曲型方程 波动方程 数学 物理 ? 任务：三类方程的求解 12.5 边界条件与初始条件 对于偏微分方程 的通解是：u x, y C1 y +xC2 y C1 与 C2 是 y 的任意函数，可见解并不唯一。 要描述一个具有确定解的物理问题，数学上要构成一个定解问题 微分方程 边界条件 初始条件 定义 初始条件——完全描述物理问题的研究对象在初始时刻时， 其内部及边界上任意一点的状况。 边界条件——完全描述物理问题的研究对象的边界上各点 在任一时刻的状况。 第一类边界条件：边界上各点的函数值—— 第二类边界条件：边界上各点函数的法向微商值—— 第三类边界条件： 与 的线性关系 举例 热传导方程 初始条件： 边界条件： 初始时刻各点的温度 ? 边界上各点的温度 ? 单位时间内通过单位面积的边界流入的热量为 j S, t ：法向微商，梯度矢量在外法线上的投影。 若边界绝热，则 j 0，有 ? 介质通过边界按牛顿冷却定律散热。 牛顿冷却定律：单位时间通过单位面积表面与外界交换的热量正比于介质表面温度 与外界温度 u0 之差，h 为比例系数。 * 物理现象 问题的提出 问题的解决 ——数学描述 ——求解过程 物理问题导出的函数方程 偏微分方程 积分方程 数学物理方程 来自物理问题的偏微分方程（二阶线性偏微分方程） ◆ 静电势和引力势满足的拉普拉斯方程 ◆ 波的传播所满足的波动方程 ◆ 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 ◆ 描写电磁场运动变化的麦克斯韦方程组 ◆ 作为微观物质运动基本规律的薛定谔方程和狄拉克方程 用数理方程研究物理问题的步骤： ? 导出或写出定解问题 ? 求解定解问题 ? 讨论解的适定性（存在性、唯一性、稳定性），作物理解释 建立数理方程 确定定解条件 数理方程的建立： ? 将所研究的系统中的一小部分分割出来 根据物理学的规律，用数学语言表达这个规律 （牛顿第二定律、能量守恒定律等） ? 化简整理 定解条件 初始条件：物理过程初始状态的数学表达式 t 的 n 阶偏微分方程需要 n-1 个初始条件 才能确立一个特解 边界条件：物理过程边界状况的数学表达式 衔接条件：不同介质组成的系统，在两种不同介质 的交界处需要给定的条件 定解问题的求解方法 ? 形波法 ? 分离变量法? ? 积分变换法 ? 格林函数法 ? 保角变换法 ? 变分法 三类定解问题 ? 方程 + 初始条件 初值问题 ? 方程 + 边界条件 边值问题 ? 积分变换法方程 + 初始条件 + 边界条件 混合问题 第十二章 数学物理方程和定解条件 数学物理方法—— 常微分方程 具有有限多个自由度的系统 物理问题中的微分方程 物理规律的数学描述 偏微分方程 具有无限多个自由度的连续介质或场 描述对象 以下导出常见的几个数学物理方程 物理问题 12.1 弦的横振动方程 完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧后以某种方式激发，在铅直平面内作小振动，求弦的横振动方程。 取弦的平衡位置为 x 轴，两端分别为 x 0 和 x l ，设 u x, t 为弦上一点 x 在时刻 t 的横向位移。如图，弦上一小段 dx 两端 x 和 x + dx 处受到弹性力 F 的作用。 ∵弦完全柔软 ∴ F T ：切向应力，无法向力 ? ? dx 足够小，可视为质点，它在 x 方向及垂直方向上的动力学方程为： 牛顿第二定律 忽略了重力的作用 均匀弦 方程?变为： 即 小振动 弦两端的位移之差 u x+