2.3.1抛物线及其示标准方程.ppt

思考： 二次函数 的图像为什么是抛物线？ 1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上一点M(-3，m)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程. 解：抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，过M(-3,m), 抛物线方程可设为：y2=-2px(p0) ∴抛物线方程为：y2=-8x， 准线方程为：x=2 2、求顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线且截直线2x-y+1=0所得的弦长为 的抛物线的方程. 解：设所求的抛物线方程为y2=mx 把y=2x+1代入y2=mx化简得： 4x2+(4-m)x+1=0 ∴所求的抛物线方程为y2=12x或y2=-4x * 2.3.1抛物线及其标准方程（1） 高二数学 选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程 喷泉 复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线有共同的几何特征： 都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. · M F l 0＜e ＜1 (2) 当e＞1时，是双曲线; (1)当0e1时,是椭圆; (其中定点不在定直线上) l F · M e＞1 那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？ · F M l · e=1 演示 如图，点 是定点， 是不经过点 的定直线。 是 上任意一点，过点 作 ，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？ 提出问题： M F 几何画板观察 m 问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？ 探究？ 可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) M · F l · e=1 我们把这样的一条曲线叫做抛物线. 抛物线演示 M · F l · e=1 在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线. 点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线 d 为 M 到 l 的距离 准线 焦点 d 一、抛物线的定义: 解法一：以 为 轴，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点 设动点点 ，由抛物线定义得： 化简得： . M(X,y) . x y O F l 二、标准方程的推导 解法二：以定点 为原点，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点 ， 的方程为 设动点 ，由抛物线定义得 化简得： 二、标准方程的推导 l 解法三：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy. 两边平方,整理得 x K y o M(x,y) F 二、标准方程的推导 依题意得 这就是所求的轨迹方程. 三、标准方程 把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点坐标是 准线方程为: 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？ ﹒ y x o 方案(1) ﹒ y x o 方案(2) ﹒ y x o 方案(3) ﹒ y x o 方案(4) 焦点到准线的距离 y2=-2px (p0) x2=2py (p0) 准线方程 焦点坐标 标准方程 图 形 x F O y l x F O y l x F O y l x F O y l y2=2px (p0) x2=-2py (p0) P的意义:抛物线的焦点到准线的距离 方程的特点: (1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点的位置. 四．四种抛物线的对比 数形共同点: (1)原点在抛物线上; (2)对称轴为坐标轴; (3)焦点到准线的距离均为P； (4) 焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。 口诀: 对称轴要看一次项,符号确定开口方向; （看x的一次项系数,正时向右,负向左; 看y的一次项系数,正时向上,负向下.） 想一想 求抛物线的标准方程、焦点坐标、 准线方程时，关键是求什么？ 求P！ 开口方向 思考：抛物线的方程为x=ay2（a≠0)求它的焦点坐标和准线方程？ 解：抛物线标准方程为：y2= x 1 a ∴2p= 1 a 4a 1 ∴焦