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二、离散型随机变量的定义 注：1、设 二.连续型随机变量函数的分布 边缘分布律（离散型） 边缘概率密度（连续型） 正态分布的分布函数 标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 和 表示 的分布函数是 若 , 则 ~ N 0 , 1 设 , 定理 若 车门高度应如何确定 例6 公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头机会 在0.01以下来设计的, 由 设男子身高 问 解: 设车门高度为 厘米, 例7 . 解: 落在 以外的概率可以忽略不计. 随机变量的函数的分布 随机变量的函数 分布律或分布密度）。 一、离散型随机变量函数的分布 当X为离散型随机变量时， 也是离散型 随机变量。 求Y的 分布律是容易的。 并且在 X 的分布律已知的情况下， 互不相等时，则事件 由 2、当 则把那些相等的值合并起来 并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布律。 例1 设随机变量 的分布律为 的分布律 解 解 的分布律。 所以 解 题 思 路 随机变量。 例2 设 X 的概率密度为 求 Y 2 X+8 的概率密度 解 设Y 的分布函数为 例3 设 X 的概率密度 解 由题意可知 的取值范围为 设 X 具有概率密度 , 求 的概率密度 求导可得 例4 解 其概率密度为： 则 Y X 2 的概率密度为： 例如,设 设 是定义在概率空间 如果用平面上的点 x, y 表示二维r.v. X , Y 的一组可能的取值，则 F x, y 表示 X , Y 的取值落入图所示角形区域的概率. x, y x y 的二维正态分布，记为 定义 若二维随机变量 的概率密度为 其中 都是常数,且 ，则称 服从参数为 定义2: 设 是二维随机变量, 对于任意实数 ,称 为 的分布函数或联合分布函数。 边际分布 同理可得 几何 表示: 设 的联合分布律 记做 且有: 则 关于 的边缘分布律为 记做 同理 一、随机变量的定义 二、离散型随机变量及其分布 三、几种常见的分布 四、随机变量函数的分布 第二讲 随机变（向）量及其分布 设随机试验的样本空间 一.随机变量及其分布 上的实值单值函数， 是定义在样本空间 我们不仅关心 取什么值，更关心它取值的概率 大小。例如希望知道集 的概率，其中x是任一实数。因为我们只在事件上定义 了概率，讨论 概率，当然要求 是事件，即 定义1 是定义在 上的单值实函数，如果对任一实数 x， 则称 为随机变量。 设 为一个概率空间， 1.随机变量 随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示 而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母 等. 2、分布函数的概念 定义1 设 是一个随机变量， 是任意实数,称函数 为 的分布函数。 上的概率. 分布函数 的值就表示 落在区间 分布函数的另一种定义是：称 为随机变量的分布函数。两种定义对于离散型随机变量有影响，此种定义给出的分布函数是左连续的，前一种是右连续的。对于连续行随机变量的分布没有任何影响。 3 性质 1）. 非降函数，即 若 ， 则 2）. 3）. 右（左）连续 4. 几个常用的概率公式 1. 2. 3. 4. （2）分布函数是一个普通实值函数 （1）分布函数完整描述了随机变量的统计规律性 5.随机变量的分类 例如：“抽验一批产品中次品的个数”， “电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数”等 1）.离散型随机变量 2）.连续型随机变量 所有取值可以逐个一一列举 例如：“电视机的寿命”， 实际中常遇到的“测量误差”等. 全部可能取值有无穷多， 充满一个或几个区间 定义 若随机变量X 的全部可能取值是有限个或 无限可列多个,则称此随机变量是离散型随机变量。 例 扔一均匀硬币三次，出现正面的次数 离散型随机变量 分布律也可用如下表格的形式表示 定义 设随机变量X的所有可能取值为 满足 k p 则称pk为离散型随机变量X的概率分布或分布律。 常用的离散型随机变量 1. 0—1 分布 定义 若随机变量X 的分布律为 （0—1）分布的分布律也可写成 （2）二项分布 3） 泊松分布 称 服从参数为 的泊松分布, 记为 其中 是常数, 若随机变量 的分布律 泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。 泊松分布的应用 ① 排队问题：在一段时间内窗口等待服务的 顾客人数 ② 生物存活的个数 ③ 放射的粒子数 解 例1 求分布函数 当 时, 当 时, 当 时, 已知随机变量 的分布律 合并可得 图形特点： 阶梯状、 右连续 非降函数、 不难看出，F x 的图形是阶梯状的图形，在 x 0，1，2