微分方程63130.pptVIP

第十二章 第一节 引例1. 引例2. 列车在平直路上以 微分方程的基本概念 例1. 验证函数 第二节 分离变量方程的解法: 例1. 求微分方程 例2. 解初值问题 例3. 求下述微分方程的通解: 练习: 例4. 例5. 第三节 一、齐次方程 例1. 解微分方程 例2. 解微分方程 第四节 一、一阶线性微分方程 2. 解非齐次方程 例1. 解方程 内容小结 思考与练习 * 微分方程 — 积分问题 — 微分方程问题 推广 微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第十二章 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式: ① (C为任意常数) 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 ② 由 ① 得 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的速度行驶, 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 已知 由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得 因此所求运动规律为 说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 (本章内容) ( n 阶显式微分方程) 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 的阶. 分类 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例2 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): 的阶数相同. 特解 引例1 通解: 特解: 微分方程的解 — 不含任意常数的解, 定解条件 其图形称为积分曲线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是微分方程 的解, 的特解 . 解: 这说明 是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 利用初始条件易得: 故所求特解为 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解分离变量方程 可分离变量方程 第十二章 设 y＝? (x) 是方程①的解, 两边积分, 得 ① 则有恒等式 ② 当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 说明由②确定的隐函数 y＝?(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝?(y) 也是①的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法 1 分离变量 即 ( C 0 ) 解法 2 故有 积分 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 子的含量 M 成正比, 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解: 根据题意, 有 (初始条件) 对方程分离变量, 即 利用初始条件, 得 故所求铀的变化规律为 然后积分: 已知 t = 0 时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 机动 目录 上页 下页 返回 结束 成正比, 求 解: 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 对方程分离变量, 然后积分 : 得 利用初始条件, 得 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时 机动 目录 上页 下页 返回 结束