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第二章 信号 学习要点： 1、理解信号的分类，掌握能量信号和功率信号的定义，理解能量谱和功率谱的定义。 2、理解随机变量的定义和分布函数以及概率密度。 3、掌握常用的随机分布，如均匀分布、正态分布、指数分布等 4、理解随机过程的定义及其数字特征。 5、了解窄带随机过程的特性。 本章小结 本章主要讲解了信号的类型，随机信号的分布及其数字特征。要求大家重点理解功率谱和能量谱的概念，随机过程的定义，平稳随机过程和各态历经性的随机过程，随机过程的功率谱密度和自相关函数的关系。 * 例：若X(t)是平稳随机过程，自相关函数RX(τ )，功率谱密度为PX(?)，试求它通过如图所示系统后的自相关函数及功率谱密度。 相 加 延时T X(t) Y(t) 2.随机过程的定义 定义一：设随机试验E的样本空间为S={e}，对其每一个元素ei(i=1,2,…)都以某种法则确定一个样本函数x(t,ei),由全部元素{e}所确定的一族样本函数X(t,e)称为随机过程，简记为X(t)。 定义2： 设有一个过程X(t) ，若对于每一个固定的时刻tj(j=1,2,…) ，X(tj)是一个随机变量，则X(t)称为随机过程。 随机过程X(t,e)四种不同情况下的意义： 当t固定，e固定时， X(t) 是一个确定值； 当t固定，e可变时， X(t) 是一个随机变量； 当t可变，e固定时， X(t) 是一个确定的时间函数； 当t可变，e可变时， X(t) 是一个随机过程； * 随机过程的统计特性由它的概率密度分布和数字特征来描述。 设X(t)是一个随机过程，则在任意一个时刻ti上X(ti)是一个随机变量， 则这个随机变量的统计特性，可以用分布函数或概率密度函数来描述。 1. 随机过程X(t)的分布函数为 FX(x,ti)=P{X(ti)≤x} ? FX (x,ti ) ? x ò ￥ ￥ - = = ) ( ) ( )] ( [ X X t m dx x xp t X E ò ￥ ￥ - = ) ( )] ( [ X i dx x,ti xp t X E 随机过程的数学期望是时间 t 的函数。 上式是在ti 时刻上随机变量的数学期望，即随机变量的数学期望与时间有关，而时间ti是任意取的，故可把ti直接写成t 3. X(t)的数学期望 则称PX ( x, ti )为X(t)的概率密度函数。 =PX ( x,ti ) 2. 如果存在 * 4. X(t)的方差 2 )]} ( [ ) ( { )] ( [ t X E t X E t X D - = 这里也把任一时间 ti 直接写成 t 随机过程的方差是时间 t 的函数。 5. X(t)的自相关函数 X(t1)和X(t2) 是在t1和t2时刻上的2个随机变量，RX (t1 , t2) 反映了这两个随机变量的相关程度。 RX (t1 , t2)与 t1 和 t2 的取值有关。 * 二、平稳随机过程 平稳随机过程的定义： 统计特性与时间起点无关的随机过程。 （又称严格平稳随机过程或狭义平稳随机过程） 广义平稳随机过程的定义： 平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。 广义平稳随机过程的性质： 严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。 * 三、各态历经性 求平稳随机过程的数字特征（数学特征、方差、自相关函数），需要对随机过程的所有实现计算统计平均值，这在实际中是不可能实现的。 但是平稳随机过程一般都具有一个非常有用的特性，这个特性就是“各态历经性”。 “各态历经”的含义：平稳随机过程的一个实现能够 经历此过程的所有状态。 各态历经过程的特点：它的数字特征，可由其任一 实现的数字特征来决定。即可用时间平均值代替统计 平均值。 * 各态历经过程的数学期望mX （统计平均值）： 各态历经过程的方差: 各态历经过程的自相关函数RX(?): 　　一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经性。 ò - ￥ ? = 2 / 2 / ) ( 1 lim T T i T X dt t [X T ? -mX ]2 * 四、平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度 1. 自相关函数的性质：设X(t)是一个实平稳随机过程 2. 功率频谱密度的性质 确知信号的功率谱密度： 平稳随机过程的功率谱密度为： 平均功率： X(t)的平均功率 X(t)的直流功率 X(t)的交流功率，方差 * 自相关函数