两类曲线积分与格林公式-习题课.ppt

两类曲线积分习题课 第一类曲线积分的计算 几何与物理意义 第二类曲线积分的计算 格林公式 例 计算 * 曲线积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 格林公式 曲线积分与路径无关 1.定义：第一类曲线积分（又称对弧长的曲线积分） 2.存在条件： 3.推广 一、基本内容 推广 特殊情形 存在条件： 第二类曲线积分（又称对坐标的曲线积分） 推广 性质 对坐标的曲线积分与 曲线的方向有关. 定理 特殊情形 2.它是Newton-Leibniz公式在二重积分情形下的推广. 1.Green公式的实质：沟通了沿闭曲线的第二类曲线 积分与该闭曲线所围的闭区域上的二重积分的之间 的联系。 定理 设D 是单连通域 , 在D 内 具有一阶连续偏导数, (1)沿D 中任意光滑闭曲线L,有 (2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分 (3) (4)在D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 在第一象限中所围图形的边界. ⌒ 提示 解 ⌒ ⌒ 例 二、例题 故 例 其中L是圆周 解 因积分曲线L关于 被积函数x是L上 被积函数 因积分曲线L关于 对称性, 计算 得 是L上 y轴对称, 关于x的奇函数 x轴对称, 关于y的奇函数 其中?为球面 解 化为参数方程 例 计算 其中L为 解 圆周: ，方向沿逆时针. 解 例 问 是否为全微分式? 求其一个原函数. 如是, 解 在全平面成立 所以上式是全微分式. 因而一个原函数是： 全平面为单连通域， 法一 (x,y) 这个原函数也可用下法“分组”凑出: 法二 因为函数u满足 故 从而 所以, 问 是否为全微分式? 求其一个原函数. 如是, 由此得 y的待定函数 法三 *