高一综合班数学第七讲倍角的正弦余弦正切.doc

2015年寒春班高一A数学第七讲（150212） 倍角的正弦、余弦、正切 一、复习与提高 二角和与差的公式： ； ； ； tan(+tan(=tan((+()(1-tan(tan()； . 口诀：余弦和与差：积同名，号相异；正弦和与差：积名异，符号同； 辅助角的应用：.其中，且角所在的象限与点所在象限一致. 常用常考结论： 练习： 1、已知sinα＝，cosα＝－，且α为第二象限角，则m的允许值为(　　) A.＜m＜6 B．－6＜m＜C．m＝4 D．m＝4或m＝ 答案：C解析：由sin2α＋cos2α＝1得，()2＋(－)2＝1， ∴m＝4或，又sinα＞0，cosα＜0，把m的值代入检验得，m＝4. 已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________. 答案：1解析：∵tanβ＝，∴tanβ＝＝tan(－α)． 又∵α、β均为锐角，∴β＝－α，即α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan＝1. ．在△ABC中，已知tanA＝3tanB，则tan(A－B)的最大值为________，此时角A的大小为________． 解析：由于tan(A－B)＝＝＝≤.当且仅当1＝tanB时取“＝”号，则tanB＝tanA＝A＝60°. 答案：　60° ．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于(　　) A．30° B．150°C．30°或150° D．60°或120° 答案：A解析：已知两式两边分别平方相加，得 25＋24(sinAcosB＋cosAsinB)＝25＋24sin(A＋B)＝37， ∴sin(A＋B)＝sinC＝，∴C＝30°或150°.当C＝150°时，A＋B＝30°，此时3sinA＋4cosB＜3sin30°＋4cos0°＝，这与3sinA＋4cosB＝6相矛盾，∴C＝30°. ．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为，. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝，cosβ＝.因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝＝，同理可得sinβ＝.因此tanα＝7，tanβ＝. 所以tan(α＋β)＝＝＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1. 又0＜α＜，0＜β＜，故0＜α＋2β＜， 从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝. 即可得到二倍角公式： 又因为，所以。 三、应用 1．正用 例1、设，求的值。 解：， 练习1、已知sin2α=,α,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 解:由α,得2απ.又∵sin2α=, ∴cos2α==. 于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2××()=; cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin22α=1-2×()2=; tan4α==(-)×=. 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值. 活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题.本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式.并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊角,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆用二倍角公式. 解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20° = =点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律. ．已知sin(x＋)＝－，则sin2x的值等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：A解析：sin(x＋)＝(sinx＋cosx)＝－，所以sinx＋cosx＝－， 所以(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x＝，故sin2x＝－.已知α为第二象限角sinα＋＝则＝________．答案：－解析：∵ ＋＝(sinα＋)2＝＝－即＝－为第二象限角且cosα＝＋＋(k∈Z)， ∴ 4kπ＋＋(k∈Z)，∴ 2α为第三象限角＝－＝－．已知cos＝，x∈.(1)求sinx的值；(2)求sin的值． 解：(1)法一：因为x∈，所以x－∈，sin＝ ＝. sinx＝