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现代教育学作业 特征标理论 演讲者：刘 物理学 日期：2013-11-6 content 1、相关概念热身 2、特征标基本性质 3、特征标正交性与完备性 4、特征标表的构造 * * 等价表示和非等价表示 当我们寻找一个群的全部表示是，只须考虑那些互不等价的表示。 可约表示和不可约表示 可约表示：设A是群G在表示空间V上的一个表示。如果V存在一个G不变的真子空间W 即W既不是空集或V本身）则称表示A是可约表示。亦即对任意y ∈W,任意g? ∈G,有A g? y ∈W。 A g? 不把W中的向量变到W以外去。 不可约表示：G的表示A在V中不存在G不变真子空间。 可约表示可以用同一个相似变换将群元的表示矩阵D A 、D B 、Λ同时变成具有相同块结构的块状对角矩阵；换言之，可进一步对角化的表示为可约表示。 正交性定理 设D i R 和D j R 是群G的两个ni，nj维的不等价不可约表示（R代表群G中的任一元）,则有 其中，g是群G的阶，求和对一切群元进行。 ni是不可约表示D i R 的维数。 用内积表示即: （D j ?p R |D i ?q R ? ij ??? ?ij /ni 注：为什么叫正交性定理？ 1 ?i j: 两个不等价不可约 幺正 表示的基函数彼此正交; 2 ???: 同一不可约 幺正 表示的基函数彼此正交 ?ij ? 正交 ? ┌ ?1i ┐ ┌ ?1j ┐ ? ∣ ?2i ∣ ∣ ?2j ∣ ? ??? 正交∣ ? ∣ ∣ ? ∣ 正交 ??? ? ∣ ? ∣ ∣ ? ∣ ? └ ?nii ┘ └ ?njj ┘ 完备性定理 设 是有限群 的所有不等价不可约酉（幺正）表示，则 生成的群函数 在群函数中间是完备的。 函数集｛ ｝是 的完备基。 是群函数空间的正交归一基。群G的任意复函数可展为： 推论： 1、勃恩赛德（Burside 定理 有限群的所有不等价不可约酉表示维数的平方和，等于群的阶。即 2、正则表示L gi 按不等价不可约酉表示 可约化为 正则表示含不等价不可约酉表示的次数，等于该表示的维数。 1.定义：设群G E,A,B,C,… ,它的一个表示D D E ,D A ,D B ,D C ,… ,则群元R的特征标为D R 的对角元之和（迹） X R TrD R 式中，R表示G的任一元 Daa是对角元，n是表示空间的维数。 群表示的特征标 特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标 注：对可约表示和不可约表示同样适用， 第a个不可约表示Da R 的特征标写成Xa R 2.特征标的性质 1 单位矩阵的特征标等于它的阶，若表示是一维的，则特征标就是表示自身 2 等价表示有相同的特征标 由于相似变换并不改变矩阵的迹 3 属于同一共轭类的群元在同一表示中有相同的特征标，因此特征标是类的函数，独立的特征标个数等于类的个数 证明：Ri与Rj共轭，则有 R-1RiR Rj 所以D R-1 D Ri D R D Rj D-1 R D Ri D R D Rj 得：X Ri X Rj （相似矩阵有相同的迹） 4 一个可约表示的特征标，等于约化后各不可约表示的特征标之和 5 不可约表示特征标的正交性定理 定理：一个群G的两个不等价不可约表示D i 和D j 的特征标X i 和X j 满足关系式 其中，g是群阶，R是群G中的任一元，X i ,X j 代表第i和第j个不可约表示的特征标。 证明： 注：若将一个群的所有不等价不可约表示的特征标列成表，并以群元类作为行编号而以不等价不可约表示作为列编号的话，则不同行的特征标是正交的 亦即 ? i , ? j ?ij 此正交关系也称为特征标的第一正交关系 推论： 1、群G的所有不等价不可约表示的个数r≤C （G中共轭类的个数） 例：验证正交性 A1～A2:1×1×1+2×1×1+3×1× -1 0 A2～E:1×1×2+2×1× -1 +3× -1 ×0 0 E～E：1×2×2+ 2×（-1）× -1 + 3×0×0 6 2、有限群不可约表示的特征标内积等于1即： 3、可约表示A的特征标 的内积大于1 mp为不可约表示Ap在可约表示A的等价幺正表示A’中的重复度。 可约表示的约化: 只要知道群的所有不可约表示的特征标 即不可约表示特征标表 , 就可对该群任一表示的可约性作出判断。 1.如该表示的特征标和某一不可约表示的特征表完全相同, 则与这一不可约表示等价,亦为不可约表示。 2.如该表示的特征标和任一不可约表示的特征标都不相同, 则该表示可约。其特征标可由不可约表示的特征标线性