教学的核心是培养数学思维(澄海中学池芳芳).doc

教学的核心是培养数学思维 ——对“等差数列前项和”一节的思考 内容提要：本文探讨的核心是如何在课堂中实现倒序相加法的方法重建过程，具体的着眼点有两个，一个是过渡教材上“钢管”的问题情境是否有价值？另一个是首尾配对法是否能自然发展为深层的倒序相加法？ 关键词：倒序相加法 知识重建 正文 等差数列的前项和公式无论是获取的过程还是证明方法的获取过程，以及它的证明过程，都是发现数学结论和数学方法的思维过程，同时在这些过程中还蕴含了“特殊与一般”“归纳与类比”“抽象与概括”等重要的数学思想方法。由此可见等差数列前项和公式是培养学生的创新意识和创新能力的一个极好的素材。这两年学校均有老师选择这个知识点作为开公开课的内容，在听过的课中，总存在这样或那样的一些不足，为此我对教材编排的内容作进一步的思考，思考如何进行教学设计才能在课堂教学中准确把握教材，提高教学效果。这节课的重难点都是公式的推导方法（倒序相加法）是怎么想到的，为什么可以用这种方法？过渡教材中的问题情境：钢管的计算问题: 【问题1】一个堆放铅笔的V形架最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它的下一层多放一支铅笔，最上面一层放了100支铅笔。问这个V形架上共放有多少支铅笔？ 分析：问题即是求： 高斯算法（首尾配对法） 【问题2】若另有一倒立的V形架最下层放有100支铅笔，往上每一层都比它的下一层少放一支铅笔，最上面一层放1支铅笔。问这两个V形架上共放有多少支铅笔？ ① ② 由①+②可得 （明确这种方法就是“倒序相加法”） 借助图形直观——计数问题，联想到梯形面积——割补法构造平行四边形——完善为倒序相加法，对倒序相加法的启发过于直白，更是学生很难想到的，这是一种特殊的技巧。学生常常会问：老师，你是怎么想到的？教师也不知所措。因此按这样的处理方法进行教学，不便让学生自己去获得公式的推导方法，教师只能采用灌输的方式进行传授，易使学生的思考表层化，直接模仿，而无法深入思考，从而使倒序相加法的重建过程缺失。 而现行的课程教材（人教版）创设的情境是采取一个历史上有名的例子——高斯求和出发，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+……+100 ？（1+100）+（2+99）+……+（50+51） 101×50 5050，项与倒数第项的和等于首项和末项的和这个规律。为接下来求前个正整数的和、求一般等差数列前项和做好铺垫。教材这样做的意图是要求教师在教学时，要由简到繁，由浅入深，采取层层递进的方法处理等差数列前项的求和问题，向学生渗透数学研究中的“特殊与一般”的数学思想方法，让学生学习研究问题的思路和方法，让学生知道在解决有关等差数列前项和的问题时，就可以直接运用公式，而不需要逐个求和。 两种教材在揭示倒序相加法的形成中，注意让学生理解其可以用的原因，但学生对倒序相加法的形成过程还需要深入地分析，学生对高斯法仅仅停留在直观、模糊的经验层面，要发展为倒序相加法，必须要有一个方法论的重建过程。教材中由高斯求前100个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1，2，3，…，n，… 1 + 2 + … + n-1 + n n + n-1 + … + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1） 上面这种加法叫“倒序相加法”。老师在教学的过程中力图让学生注意到了等差的性质，明确倒序相加法的原因，并认为学生在此时已经学会了倒序相加法，于是直接说出了方法：一行顺向，一行逆向，两式相加，恰好两两配对。其实，学生脑海里此时装的却是模糊的首尾配对法，而不是倒序相加法，这样，方法重建过程在不经意间滑过。因为用高斯法求1+2+3+……+100 （1+100）+（2+99）+……+（50+51） 101×50 5050时，学生很自然就想到依据等差数列性质两两配对，此时学生又有一个问题，能否两两配对？共有多少对？此时学生意识到不一定能两两配对，学生很自然就会想到不能两两配对的原因是当为奇数时，从而学生就会想到应分奇偶数： 当为偶数时， ； 当为奇数时， ，从而学生又可以得到在两种情况下，结果是一致的。无论为奇数还是偶数，。为什么？接下来教师应引导学生如何用其他的方法来证明这个结论，引导通过对整个和式进行观察，分析和式的特点，发现其规律。考虑能否用分析法来证明？把2乘过去，则有） ，有了两个就好配对了，总项数就一定是偶数了。首尾配对，从而可得，∴这种方法是倒序相加法，它是等差数列的完美利用，有效克服了首尾配对中奇偶项的限制，使得教师的教学时还原人们的这个思维过程，也使得倒序相加法水到渠成，自然获得。 本文探讨的核心是如何在课堂中实现倒序相加法的方法重建过程，具体的着眼点有两个，一个是过渡教材上“钢管”的问题情境是否有价值？另一