数值分析15切比雪夫插值.ppt

* 切比雪夫插值节点 带导数条件的插值函数 分段插值函数 二元函数插值简介 《数值分析》 15 取插值结点: a≤x0＜x1＜······＜xn≤b 满足Ln xk f xk 的 n 次多项式插值余项 其中, 选取: x0, x1 ,······, xn , 使 结论: 切比雪夫多项式Tn+1 x 的全部零点。 拉格朗日插值余项 2/18 n+1阶切比雪夫多项式: Tn+1 cos n+1 ? cos? x 代入得 Tn+1 x cos n+1 arccos x 即 k 0,1,···,n 取 f x ∈C[–1, 1], 令 x cos? , 则有 [–1, 1] ?? [0, ? ] 将g ? f cos? 展开成余弦级数 ——切比雪夫结点 3/18 例1. 函数 取等距插值结点: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 x∈[-5, 5] ?11 x x+5 x+4 x+3 x+2 x+1 x x-1 x-2 x-3 x-4 x-5 ?11 x ? 4/18 -4.9491 -4.5482 -3.7787 -2.7032 -1.4087 0.0000 1.4087 2.7032 3.7787 4.5482 4.9491 在[-5, 5]区间上,取11个切比雪夫结点 k 10, 9, 8, ···, 1, 0 ?11 x x – x0 x – x1 x – x2 ······ x – x10 5/18 ?11 x ? 插值函数L10 x 取 切比雪夫结点插值 插值函数L10 x 取 等距结点插值 6/18 已知节点x0和x1处的函数值及导数值 求三次插值函数 H x a0 + a1x + a2x2 + a3x3 满足插值条件 j 0,1 三次Hermite插值问题 m1 m0 H’ x y1 y0 H x x1 x0 x 7/18 例2. 已知插值条件: 求3次插值函数. 解:设 得 a0 0, a1 0, 列出方程组 求解, 得 a2 3 , a3 – 2 所以,有 H x 3x2– 2x3 3 – 2x x2 x 0 1 H x 0 1 H’ x 0 0 8/18 利用基函数表示Hermite插值 x0 x1 1 0 0 0 0 1 0 0 x x0 x1 0 0 1 0 0 0 0 1 x 9/18 两点Hermite插值的误差估计式 证明: 由插值条件知 R x0 R’ x0 0, R x1 R’ x1 0 构造辅助函数 利用 f x – H x C x x – x0 2 x – x1 2 取 x 异于 x0 和 x1, 设 10/18 反复应用Roll定理,得F 4 t 有一个零点设为ξ ? ? 显然,F t 有三个零点x0, x, x1,由Roll定理知,存在F’ t 的两个零点t0,t1满足x0 t0 t1 x1,而x0和x1也是F’ x 的零点,故F’ x 有四个相异零点. 11/18 分段线性插值 插值节点满足: x0 x1 ······ xn 已知 yj f xj j 0,1,2,···,n ·········· j 0,1,···,n-1 x∈[xj，xj+1]时, 线性插值函数 12/18 分段三次Hermite插值 取 a≤x0 x1 ······ xn≤b,已知函数值和导数值 yj f xj , mj f ’ xj j 0,1,2,···,n 当 x∈[xj，xj+1]时, 两点Hermite插值 j 0,1,2,···,n-1 15/18 矩形区域上函数f x, y 的双线性插值 x1 x2 y2 y1 插值条件: P x1, y1 z1, P x2, y1 z2, P x2, y2 z3, P x1, y2 z4 P x, y ax + by + cxy + d l1 u，v 1 – u 1 – v l2 u，v u 1 – v l3 u，v u v l4 u，v 1 – u v 其中 P x, y z1 1 – u 1 – v + z2 u 1 – v + z3 u v + z4 1 – u v 16/18 [u,v] meshgrid 0:0.1:1 ； L1 1-u .* 1-v ; surf u,v,L1 figure L2 u.* 1-v ; surf